Обчислення інтеграла за формулою Сімпсона з точністю 0,001

Лабораторна робота №5

Варіант № 9

Студент групи ІН-61

ПРОСКОЧИЛО ВЛАДИСЛАВ

1.  Умова задачі

Обчислити інтеграл за формулою Сімпсона з точністю =0,001.

  .    

2.  Алгоритм.

      Розіб'ємо інтервал інтегрування [a,b]на парне число однакових частин із кроком h=(b-a)/(2n). На кожному частковому відрізку [ ] довжини h замінимо функцію f(x) квадратичним сплайном , що інтерполює f(x) у вузлах .

                y

      

         

                O           x₁    …  x_i         x_i+1   …                          x

Додаючи значення  для інтегралів на усіх часткових відріз-ках (i=0,2,...,2(n-1)), одержимо квадратурну формулу Сімпсона (або формулу парабол) :

.     

Апріорна похибка:  ,  .

Вона вказує на те , що для будь-якої неперервної на [a,b] функції f(x) наближене значення інтеграла , отримане за формулою Сімпсона, прагне до точного значення при .

Після обчислення значень інтегралу, можна визначити апостеріорну похибку:

3.  Текст программи

Program simpson_metod;

Uses wincrt;

Const eps=0.001;

      a=0;

      b=1;

Var

  n,i: integer;

  h,I1,I2,m,R: real;

Function fun(x:real):real;

Begin

fun:=exp(0.5*ln(1+x*sqr(sqr(x))));

End;

Function sum1(n: integer; h: real): real;

 var

   i: integer;

   s1: real;

begin

s1:=0;

for i:=1 to (n div 2) do s1:=s1+fun(a+(2*i-1)*h);

sum1:=s1;

end;

Function sum2(n: integer; h: real): real;

 var

   i: integer;

   s2: real;

begin

s2:=0;

for i:=2 to (n div 2) do s2:=s2+fun(a+(2*i-2)*h);

sum2:=s2;

end;

begin

n:=2;

h:=(b-a)/n;

repeat

      I1:=(h*(fun(a)+fun(b)+4*sum1(n,h)+2*sum2(n,h)))/3;

      n:=2*n;

      h:=(b-a)/n;

      I2:=(h*(fun(a)+fun(b)+4*sum1(n,h)+2*sum2(n,h)))/3;

      m:=abs(I1-I2);

 until (m<eps);

r:=m/15;

writeln;

writeln('Result:');

writeln;

Writeln('Integral = ',I2:1:4);

writeln('R = ',r:1:10);

end.

Результати програми:

перевірка в Maple:

> F:=(1+x^5)^(1/2);

> F1 := int((1+x^5)^(1/2),x=0..1.);