Числовые ряды. Теоремы сравнения. Признак Даламбера

Числовые ряды

Пусть дана последовательность чисел , определим . Для любого  можно получить последовательность . Если последовательность  имеет предел, равный : , то это можно обозначить следующим образом . Тогда  называется частной суммой ряда, а формула  называется числовым рядом. В этом случае последовательность  - это последовательность частичных сумм. Конечный или бесконечный предел  частичных сумм ,  называется суммой ряда. Если ряд имеет конечную сумм, то его называют сходящимся, в противном случае (если сумма ряда равна ) ряд называют расходящимся.

Если в   отбросить первые  членов, то мы получим ряд . Эта сумма называется остатком ряда после отбрасывания первых  членов.

Свойства: 1. Если сходится ряд, то сходится любой из его остатков. Из сходимости остатка следует сходимость ряда. Замечание: Отбрасывание конечного числа первых членов ряда или присоединение в начало ряда нескольких новых членов не отражается на поведении ряда, т.е. его сходимости или расходимости. 2. Если ряд сходится, то сумма  его остатка после m-ого члена . 3. Если сходится ряд, то ряд вида  тоже сходится. 4. Два сходящихся ряда  и  можно почленно складывать и вычитать: . 5. Общий член ряда . Замечание: Свойство 5 – необходимое условие сходимости ряда. При нарушении этого условия ряд заведомо расходится. Это условие не является достаточным.

Ряд, составленный из , называется положительным. Тогда , т.е. частичная сумма будет возрастающей. Сумма положительного ряда будет конечной, и ряд будет сходиться в случае, когда частичная сумма ряда ограничена сверху, в обратном случае – бесконечной.

Ряд вида , называется гармоническим. Частичные суммы гармонического ряда нельзя ограничить сверху, т.е. ряд будет расходиться. Ряд вида  называется гармоническим рядом ( - гармоническое число). Этот ряд также расходится при любом

Теоремы сравнения. 1. Пусть даны два положительных ряда  и . Если , то из сходимости ряда  следует сходимость ряда . А из расходимости ряда  следует расходимость ряда . 2. Если существует , где , то из сходимости ряда  следует сходимость ряда , если . А из расходимости ряда  следует расходимость ряда , если . Т.е. если , то оба ряда сходятся и расходятся одновременно. 3. Если, начиная с некоторого , то из сходимости ряда  следует сходимость ряда , а из расходимости ряда  следует расходимость ряда  (сверху ограничивают сходящимся рядом, если хотят доказать сходимость; снизу ограничивают расходящимся, если хотят доказать расходимость).

Признак Коши. Пусть дан ряд , рассмотрим , если для достаточно больших  выполняется , то ряд сходится. Если же, начиная с некоторого , , то ряд, составленный из  расходится. Предельный признак Коши. Если существует , тогда при  ряд сходится, а при  ряд расходится.

Признак Даламбера. Для ряда  рассмотрим величину . Если при достаточно больших , то ряд сходится, если же с некоторого , то ряд расходится. Предельный признак Даламбера. Если существует , тогда при  ряд сходится, при  ряд расходится.

Замечания: 1. Признак Даламбера не работает при  . 2. Признак Коши сильнее признака Даламбера. 3. Если признаки Коши и Даламбера не дают точного ответа, то можно воспользоваться сравнением ряда  с известным гармоническим рядом.

Признак Раабе. Если при достаточно больших , где , то ряд  сходится, если же , то ряд расходится. Замечания: 4. Признак Раабе сильнее признака Даламбера. 5. При  признак Раабе не работает, где .

Логарифмический признак. Пусть . Если существует  конечный или нет, то при  ряд сходится, при  - расходится.

Предельным рядом называется ряд, члены которого могут иметь различные знаки.

Критерий Коши. Для сходимости ряда  необходимо и достаточно, чтобы . Ряд будет расходится, если .

Теорема. Если сходится ряд, составленный из , то ряд, составленный из , тоже сходится (Следствие из критерия Коши). Если ряд  сходится вместе с рядом , то такой ряд называется абсолютно сходящимся. Если же ряд  сходится, а ряд, составленный из  не сходится, то ряд  называется условно (не абсолютно) сходящимся. Замечание: Для абсолютно сходящихся рядов применим признак Даламбера.

Если ряд можно записать в виде , то такой ряд называется знакопеременным (знакочередующимся).

Теорема Лейбница. Если члены знакопеременного ряда монотонно убывают по модулю () и , то ряд будет сходиться. Ряд Лейбница: .

Если , где  - последовательности вещественных чисел, то:

Признак Абеля. Если ряд  сходится, числа  образуют монотонную и ограниченную последовательность , тогда ряд сходится.  Признак Дирихле. Если частные суммы ряда  в совокупности ограничены , а числа  образуют монотонную последовательность, стремящуюся к нулю (), то ряд  сходится.  Замечание: Признак Абеля вытекает из признака Дирихле.

Сочетательное свойство сходящихся рядов. Если члены сходящегося ряда  объединить произвольным образом в две группы: , тогда если последовательность индексов  - это возрастающая последовательность, то новый ряд тоже будет сходиться и иметь ту же сумму, что и ряд . Переместительное свойство. Пусть дан сходящийся ряд, сумма которого равна . Произвольным образом переставив члены этого ряда, мы получим новый ряд . Если ряд  сходился, то и ряд  тоже будет сходиться, и его сумма будет равна . Абсолютно сходящийся ряд обладает переместительным свойством. Умножение рядов. Если оба ряда  и  сходятся абсолютно, то произведение этих двух рядов может быть построено по правилу бесконечной матрицы:. Сумма этого ряда будет сходиться, и произведение этих рядов будет равно .

Двойной ряд – это ряд вида . Если этот ряд имеет конечную сумму, то он называется сходящимся.