Численные методы интегрирования: Методические указания к выполнению лабораторной работы № 5, страница 2

            Зная величину остаточного члена можно определить порядок точности метода. В случае метода прямоугольников его порядок равен 1, так как  в любой точке  при степени многочлена не больше 1 равна нулю и формула прямоугольников точна. Для полиномов более высоких порядков остаточный член нулю не равен.

            Формула называется канонической формулой прямоугольников.

Усложненная квадратурная формула прямоугольников

На практике, если требуется вычислить приближенно интеграл , то обычно область интегрирования [a;b] разбивают на N равных частичных отрезков, на каждом из которых применяют одну из канонических квадратурных формул и суммируют полученные результаты. Построенная таким образом квадратурная формула называется усложненной. При применении метода прямоугольников длину частичного отрезка удобно принять за .

            Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на [a;b], т.е. . Обозначим частичные отрезки, как , где , . В соответствии с полагаем:

                                                                                        

где  - значение функции в середине частичного отрезка. При этом справедливо равенство, аналогичное  , выражающее остаточный член формулы.

                                                          

Суммирование по все отрезкам приближенного равенства приводит к усложненной квадратурной формуле прямоугольников.

                       

А суммирование равенств , с учетом того, что , дает усложненную формулу прямоугольников с остаточным членом:

                                                        

Отсюда видно, что при уменьшении шага в два раза остаточный член уменьшится в 4. Значит, порядок аппроксимации метода равен 2.

Каноническая квадратурная формула трапеций

Допустим, что . Положим приближенно

                                                                                                             

где , то есть интеграл заменяется площадью заштрихованной трапеции, изображенной на рисунке 2.

Выразим  и , где F – функция определяемая .

По формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме:

Рис. 2

 

                                                                     

                                    

Из выражений и , с учетом того, что – первообразная , получаем:

                              

выражение остаточного члена формулы трапеций. Таким образом, мы пришли к канонической формуле трапеций с остаточным членом.

                                                 

Зная величину остаточного члена, определим порядок точности метода. Он равен 1, т.к. для любого полинома степени более 1, остаточный член нулю не равен.

Усложненная квадратурная формула трапеций

Аналогично методу прямоугольников разобьем промежуток интегрирования на N равных частей. И просуммируем все значения, полученные на каждом из отрезков в соответствии с и .

Усложненная квадратурная формула трапеций

                                                            

и с остаточным членом:

                                  

где .

            Анализируя , можно сделать вывод, что порядок аппроксимации метода трапеций совпадает с порядком аппроксимации метода прямоугольников и равен 2.

Каноническая формула Симпсона

Предположим, что . Интеграл

 приближенно заменяем площадью заштрихованной криволинейной трапеции (рис. 3), ограниченной сверху параболой , проходящей через точки , , , где . Указанная парабола задается уравнением . Отсюда легко находим:

            .

Таким образом, каноническая формула Симпсона имеет вид: