Функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Геометрический смысл производной. Элементарные функции. Интегрирование функций комплексного переменного. Теоремы Коши. Ряд Тейлора (Практические занятия № 5-10)

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №5.

Тема: Функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Геометрический смысл производной.

Пусть на множестве  комплексной плоскости  определена комплекснозначная функция , т.е. каждой точке  поставлено в соответствие комплексное число . Эту функцию можно представить в виде , где , . Таким образом, задание комплекснозначной функции комплексного переменного эквивалентно заданию пары действительных функций от действительных переменных.

Функция , определенная в некоторой окрестности точки , называется дифференцируемой в точке , если существует конечный предел .

Так как свойства алгебраических действий и предельного перехода сохраняются при переходе к функциям комплексного переменного, то сохраняются и правила дифференцирования суммы, произведения, частного двух функций, а также правила дифференцирования сложной и обратной функций.

Условие Коши-Римана: для того, чтобы функция =+ была дифференцируемой в точке  необходимо и достаточно, чтобы

1. функции ,  были дифференцируемы в точке ;

2. в точке  выполнялись условия Коши-Римана , .

С учетом этих условий производную  можно представить в виде:  .

Условия Коши-Римана в полярных координатах имеют вид: , .

Пусть -произвольная точка некоторой гладкой кривой , лежащей в области определения функции - области , -образ этой кривой, . Через  обозначим угол, образованный касательной к кривой  в точке , через - угол, образованный касательной к кривой  в точке . Угол  называется углом поворота кривой  в точке  при отображении .

Пусть -произвольная точка кривой , расположенная достаточно близко к точке , , . Предел  называется коэффициентом линейного растяжения кривой  в точке  при отображении , или просто линейным растяжением.

Имеет место утверждение: если - дифференцируема в некоторой окрестности точки  и , то  и .

Якобиан дифференцируемого в точке  отображения =+ равен

  =  == .

Поэтому

1) если обозначить область определения дифференцируемой на ней функции  через , ее образ : =, то площадь области D равна ===;

2) если  и -ее образ при отображении : , то длина кривой -  вычисляется по формуле  ==.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №6-8.

Тема: Элементарные функции.

I. Дробно-линейные отображения.

Функция комплексного переменного , , a,b,c,d-комплексные числа, называется дробно-линейной. При с=0 функция  является линейной .

Перечислим некоторые свойства дробно-линейных отображений:

1. Дробно-линейная функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость  на расширенную комплексную плоскость .

2. Произведение дробно-линейных отображений, а также функция, обратная к дробно-линейной, являются дробно-линейными функциями.

3. При дробно-линейном отображении пара точек, симметричных относительно окружности, переходит в пару точек, симметричных относительно образа этой окружности.

4. При дробно-линейном отображении образом любой окружности или прямой является окружность или прямая (круговое свойство).

Действительно, уравнение любой окружности или прямой на комплексной плоскости имеет вид: =0     (при a=0- прямая). Так как , , , то уравнение переписывается в виде =0 или =0, где D=b-ic. Дробно-линейную же функцию представим в виде , где , , . Тогда она сводится к последовательному выполнению преобразований , , , из которых  и  круговым свойством обладают, так как они линейные.

Докажем, что отображение  также обладает круговым свойством.

Подставим в уравнение окружности =0 вместо  выражение . Получаем:

=0 - окружность.

Некоторые частные случаи.

1. Если окружность проходит через начало координат =0), то ее образом является прямая общего положения.

2. Если прямая проходит через начало координат (=0), то ее образом является прямая, проходящая через начало координат.

3. Образом окружности общего положения является окружность общего положения.

4. Образом прямой общего положения является окружность, проходящая через начало координат.

II. Функция Жуковского .

Она регулярна в точках z¹0, ¥, однолистна в каждой из областей: 1) |z|>1;  2) |z|<1;  3) Imz>0;  4) Imz<0. Образами первых двух областей при конформном отображении функцией Жуковского является плоскость w с разрезом по отрезку [-1,1], двух последних- плоскость w с разрезами по лучам (-¥,-1] и      [1, + ¥).

III. Функция w=.

Функция w= определяется формулой =e^x(cosy+isiny), z=x+iy. Она регулярна во всей плоскости z, однолистна в любой области, не содержащей двух различных точек z₁, z₂, связанных равенством: z₁ -z₂=2kpi, k=±1, ±2,.... В частности, функция  однолистна в полосах 2kp<Imz<(2k+2) p, k=±1, ±2,.... Она конформно отображает эти области однолистности на плоскость w с разрезом по лучу [0,+¥).