Условно-термальные (программно-вычислимые) функции на алгебре (Зачетная работа по дисциплине "Общая алгебра")

Министерство Образования Российской Федерации

Новосибирский Государственный Технический Университет

Зачетная работа

По дисциплине: Общая алгебра

Вариант №186

Группа ПМ-22

Студент: Савлюк В.И.

Преподаватель: Пинус А.Г.

г.Новосибирск

2004
Задание 1.

Будет ли функция f условно-термальной (программно-вычислимой) на алгебре

, где

X	Y	F(x,y)
0	0	0
0	1	1
0	2	2
1	0	1
1	1	1
1	2	1
2	0	2
2	1	0
2	2	2

y\x	0	1	2
0	0	2	0
1	1	1	0
2	1	2	2

Для проверки условия программной вычислимости сначала найдем все подалгебры и проверим замкнутость функции f(x,y) на них.

 

Подалгебра. Проверим замкнутость: – замкнута.

 

Подалгебра. Проверим замкнутость: – замкнута.

 

Подалгебра. Проверим замкнутость: – замкнута.

Не подалгебра.

Не подалгебра.

Не подалгебра.

 – сама алгебра А. Тоже подалгебра.

Функция f(x,y) – замкнута относительно этой подалгебры.

Теперь проверим, чтобы наша функция коммутировала со всеми изоморфизмами среди подалгебр алгебры А.

Проверяем на внешние изоморфизмы между подалгебрами:

Изоморфизм

0	0	0	1	1	1	1	0	1	1

Функция удовлетворяет условиям этого изоморфизма. Очевидно, что она удовлетворяет и условиям изоморфизма

Изоморфизм

0	0	0	2	2	2	2	0	2	2

Функция удовлетворяет условиям этого изоморфизма и изоморфизма

Изоморфизм

1	1	1	2	2	2	2	1	2	2

Функция удовлетворяет условиям этого изоморфизма и изоморфизма

Теперь рассмотрим все внутренние изоморфизмы в подалгебре .

Рассмотрим изоморфизм:

0	0	0	1	1	1	1	0	1	1
0	1	1	2	1	2	2	1	2	1
0	2	1	2	1	0	2	2	0
1	0	2	0	2	1	0	1	2
1	1	1	2	2	2	2	1	2
1	2	2	0	2	0	0	1	2
2	0	0	1	0	1	1	2	0
2	1	0	1	0	2	1	0	1
2	2	2	0	0	0	0	2	0

Так как на данном изоморфизме в подалгебре функция не удовлетворяет поставленным условиям – функция не является условно-термальной.

Задание 2.  

Укажите все подгруппы групп Sym{1,2}, Sym{1,2,3}

Sym A – симметрическая группа множества А, определяемая, как –группа всех биекций множества А самого на себя. Где –совокупность всех взаимно-однозначных отображений множества А на себя,  – обратное отображение к отображению  из . Таким образом, для х, у из А: . Через –тождественное отображение.

Подгруппа – подалгебра произвольной группы.

Рассмотрим группу .

Определим для нее  Других взаимно-однозначных отображений на себя множество А не имеет. Соответственно, рассмотрим, будут ли являться подалгебрами:

1.

            , т.к. обратное отображение к , есть

            Операция замкнута относительно , т.к.

             (по свойству групп)

            Значит  – подалгебра, следовательно, является подгруппой.

2. . Очевидно, что это тождественное отображение и обратное к нему является им самим.

Рассмотрим теперь группу Sym{1,2,3}

Рассмотрим все подалгебры:

1.

             – не подалгебра

2.

             – не подалгебра

3.

            Подалгебра, т.к.

4.

            Подалгебра, т.к.

5.

            Подалгебра, т.к.

6.  

            Подалгебра.

Теперь, аналогично рассмотренным множествам мощности 1, выберем множества мощности 2, которые будут являться подалгебрами. Для этого на  определим операцию , как обычную суперпозицию отображений.

7.  – подалгебра

8. – не подалгебра, т.к. , а отображения  нет

9. –не подалгебра

10. –не подалгебра

Остальные подмножества подалгебрами являться не будут, кроме всего множества Bi(A)

Ответ:            Bi (A),

,

,

,

,

.