Системы дифференциальных уравнений. Системы линейных дифференциальных уравнений. Метод Коши

Системы дифференциальных уравнений

                                                                                                                                                    (1)

          Система такого вида называется нормальной системой дифференциальных уравнений (СНДУ). Для нормальной системы дифференциальных уравнений можно сформулировать теорему о существовании и единственности такую же, как и для дифференциального уравнения.

Теорема. Если функции   определены и непрерывны на открытом множестве , а соответствующие частные производные  тоже непрерывны на , то тогда у системы (1) будет существовать решение                                                                                                                       (2)

а при наличии начальных условий                                         (3)

это решение будет единственным.

Эту систему можно представить в виде:

                                                                                                                     (4)

Системы линейных дифференциальных уравнений

Определение.Система Дифференциальных Уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.

                                                                                                                                                      (5)

Общий вид системы Дифференциальных Уравнений

                                                                                                                                                                                (6)

 Если задано начальное условие: ,                                                                                                                            (7)

 то решение будет единственным, при условии, что вектор-функция непрерывна на  и коэффициенты матрицы:  тоже непрерывные функции.

Введем линейный оператор , тогда (6) можно переписать в виде:

,                                                                                                                                                                                      (8)

если  то операторное уравнение (8) называется однородным и имеет вид:

.                                                                                                                                                                                          (9)

 Так как оператор линейный, то для него выполняются следующие свойства:

1.  Если  решение однородной системы (9), то  будет тоже     

                    решением   уравнения (9).

2.  Если  являются решением (9), то  тоже решение (9).

Следствие. Линейная комбинация , решение (9).

Если даны  решений (9) и они линейно независимы, то все линейные комбинации вида:                                                                                                                                     (10) только при условии, что все . Это означает, что определитель, составленный из решений (10):

. Этот определитель называется определителем Вронского для системы векторов .

Теорема 1. Если определитель Вронского для  линейной однородной системы (9) с непрерывными на отрезке  коэффициентами , равен нулю хотя бы в одной точке , то решение линейно  зависимы на этом отрезке и, следовательно, определитель Вронского равен нулю на всем отрезке.

Доказательство: Так как непрерывны, то система (9) удовлетворяет условию Теоремы о существовании и единственности, следовательно, начальное условие  определяет единственное решение системы (9). Определитель Вронского в точке  равен нулю, следовательно, существует такая нетривиальная система , для которой выполняется: . Соответствующая линейная комбинация для другой точки будет иметь вид , причем удовлетворяет однородным начальным условиям, следовательно, совпадает с тривиальным решением, то есть линейно зависимы и определитель Вронского равен нулю.g

Определение. Совокупность решений  системы (9) называется фундаментальной системой решений на  если определитель Вронского не обращается в ноль ни  в одной точке .

Определение.  Если для однородной системы (9) начальные условия определены следующим образом - , то система решений  называется нормальной фундаментальной системой решений.

Замечание. Если  - фундаментальная система или нормальная фундаментальная система, то линейная комбинация  - общее решение (9).

Теорема 2. Линейная комбинация      линейно независимых решений , однородной системы (9) с непрерывными  на отрезке  коэффициентами   будет общим решением (9) на этом же отрезке.

Доказательство: Так как коэффициенты  непрерывны на , то система удовлетворяет условиям теоремы о существовании и единственности. Следовательно,  для доказательства теоремы достаточно показать, что подбором постоянных  , можно удовлетворить некоторому произвольно выбранному начальному условию (7). Т.е. можно удовлетворить векторному уравнению:. Так как   - общее решение (9), то  система разрешима относительно , поскольку все  линейно независимы и . Однозначно определяем , а так как  линейно независимы, то .g