Решение 23 заданий с множествами и подмножествами (Вариант 31)

Министерство образования

и науки РФ

НГТУ

Кафедра ПВт

РГЗ по СГДМ

Вариант:31

Факультет: ПМИ

Группа: ПМ-72

Студент: Щеголев В. С.

Преподаватель: Куликов И.М.

Новосибирск

2008

1. Доказать, что  AÈB=AÇB A=B

               Пусть  (1)

               Пусть , тогда , но из (1)

               Следовательно , а значит, если x есть в А, то он есть и в В.

               Следовательно

               Пусть , тогда , но из (1)

               Следовательно , а значит, если у есть в В, то он есть и в А.

               Следовательно

               А значит

2. Доказать, что: (AÇB)´(CÇD)=(A´C)Ç(B´D);

1.  Пусть ,

                     Тогда ,

                     Следовательно  и

                     А значит

                     Следовательно (AÇB)´(CÇD)(A´C)Ç(B´D)

2.  Пусть  и

                     Тогда  и

                     Следовательно

                     А значит , а

                     Тогда

                     Следовательно (A´C)Ç(B´D)(AÇB)´(CÇD)

                     1,2   Þ  (AÇB)´(CÇD)=(A´C)Ç(B´D);

3. Пусть A,B¹Æ и (A´B)È(B´A)=(C´D). Доказать, что A=B=C=D.

             , Тогда , а

              Следовательно  по определению объединения.

                                                                  

                                

               Тогда  и

               То есть все элементы множества А есть во множестве В и наоборот.

               А значит А=В.

               Так как А=В, то

                Следовательно

               

                 Тогда , но пусть , тогда

                 Таким образом  и

                 Следовательно А=В=С=D

4. Пусть A и B – конечные множества, состоящие из m и n элементов соответственно.

a)  Сколько существует бинарных отношений между элементами множеств A и B?

         бинарных отношений.

b)  Сколько имеется функций из A в B?

   получается из Урновых схем

c)  Сколько имеется 1-1 функций из A в B?

              при , в противном случае 1-1 функции не существуют.

d)  При каких m и n существует взаимно-однозначное соответствие между A и B?

               При  существует взаимно – однозначное соответствие.

5. Доказать, что если f есть функция из A в B и g есть функция из B в C, то f×g есть функция из A в C.

        Для доказательства докажем оба пункта определения функции. Для доказательства

        первого пункта необходимо доказать, что    и

         . Рассмотрим  пару , тогда

          и , такой  всегда найдётся по определению функций  и .

          Рассмотрим  пару , тогда   и , такой

          всегда найдётся по определению функций  и . Для доказательства второго

          пункта определения предположим, что   и ,

          тогда  , ,  и , по

           определению функций  и  следует, что , из чего следует .

6. Доказать, что для любой функции f:

a)  f(AÈB)=f(A)Èf(B) :

        f(AÈB) Íf(A)Èf(B)

        пусть  f(AÈB) => AÈB , y = f(x) =>A  ÈB , y = f(x) =>

       , A y=f(x) È , B y = f(x) => f(A) È  f(B) => f(A) Èf(B)

        f(AÈB) Êf(A)Èf(B)

        пусть  f(A)Èf(B) => f(A) È f(B) => , A y=f(x) È , B

        y = f(x) => A È B, y = f(x) =>   AÈB , y = F(x) =>  f(AÈB)

b)  f(AÇB)Íf(A)Çf(B) :

       пусть  f(AÇB) => AÇB , y = f(x) =>A  &  B , y = f(x) =>

       , A y=f(x) & , B y = f(x) => f(A) &  f(B) => f(A)Çf(B)

c)  f(A)\f(B)Íf(A\B):

пусть  f(A)\f(B) => f(A) & f(b) => , A y=f(x) & x , B y ≠ f(x) => A & , y = f(x) =>   A\B , y = f(x) =>  f(A\B)

7. Пусть A – множество всех прямых на плоскости. Являются ли эквивалентностями следующие отношения:

a)  параллельность прямых;

1.  рефлективность : любая прямая || самой себе

2.  симметричность : очевидно , что если прямая а || прямой б , то и прямая б || прямой а

3.  транзитивность : очевидно , что  если прямая а || прямой б , прямая б || прямой с =>

а||с

b)  перпендикулярность прямых.

Это утверждение не является эквивалентным, потому что не выполняется рефлективность : прямая не может быть перпендикулярна самой себе.

8. Доказать или опровергнуть, что если отношения R₁ и R₂ симметричны, то симметричны и отношения R₁ÈR₂, R₁Ç R₂, R₁^-1, R₁×R₂^-1.

       R₁ÈR₂  - симметрично :

       Пусть

1)   . По условию R₁-симметричное отношение®

2)   . По условию R₂-симметричное отношение®

Т.о. взяв произвольную пару множества R₁ÈR_{2 , мы показали} , что в одном из множеств R₁ либо R₂ , а значит в множестве R₁ÈR₂ , будет присутствовать пара <y,x>  . ч.т.д.

R₁^-1- симметрично :

R₁×R₂^-1- несимметрично :

-не симметрично

R₁Ç R₂- симметрично :

       Пусть

1)   . По условию R₁-симметричное отношение®