Определение типа дифференциальных уравнений и их решение. Решение неоднородных дифференциальных уравнений n-го порядка методом вариации постоянных

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

Новосибирский государственный технический университет

РГЗ

По дисциплине

"Дифференциальные уравнения"

Вариант №7

Факультет: ПМИ

Группа: ПМи- 41

Студент: Крицин К.А.

Преподаватель: Баландин М.Ю.

Новосибирск

2006

I.  Определить тип дифференциальных уравнений и решить:

1)

2)

3)

4)

Решение:

1)

                       

Методом вариации постоянных:

Подставляем в исходное:

Ответ:

2)

                              

Ответ:

3) (Уравнение Клеро)

              

Уравнение можно разрешить относительно х:

Ответ:

4)

             

                         

Ответ:

II.  Решить систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений вида  методом вариации постоянных (все вычисления, преобразования и упрощения выполнялись с помощью программы MathCAD):

Найдем собственные значения матрицы А. Поскольку

,

 матрица А имеет только одно собственное значение . Его алгебраическая кратность . Выясним какова геометрическая кратность .

Геометрическая кратность собственного значения  равна

Поскольку геометрическая кратность  меньше алгебраической, матрица А не является матрицей простой структуры (А – дефектная матрица).

В силу того, что A имеет только одно собственное значение, трехмерное пространство X, в котором действует линейный оператор совпадает с корневым подпространством . Это подпространство разложимо в прямую сумму двух циклических подпространств размерности 2 и 1. Таким образом, искомый жорданов базис состоит из двух собственных векторов и одного присоединенного вектора первого порядка.

Найдем собственные векторы , решая однородную СЛАУ

В качестве свободных переменных возьмем  и . Тогда  и .

Для построения жорданова базиса осталось найти присоединенный вектор первого порядка . Решим неоднородную систему уравнений

.

Система будет совместна только тогда, когда . Подставив это условие в выражение для , получим общий вид собственных векторов, имеющих присоединенные векторы первого порядка: .

Найдем общий вид присоединенных векторов в зависимости от значения , для чего продолжим решение системы

.

В качестве свободных переменных возьмем  и . Тогда  и .

Подставим в изначальное выражение для  значения  и , получим первый собственный вектор . Для второго собственного вектора и присоединенного к нему подставим: , и оставим . Получим:  и . Составляем Р и находим J:

  

Общее решение однородной системы , где :

Фундаментальная система решений: . Тогда решение неоднородной системы ДУ , .

. Тогда ,

,

Общее решение неоднородной линейной системы ДУ:

III.  Решить неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка методом вариации постоянных (все вычисления, преобразования и упрощения выполнялись с помощью программы MathCAD):

1. ;

,

Т.к. корень  имеет кратность 2, то:

Ответ:

2. ;

Ответ: