Метрические пространства. Евклидово пространство. Теоремы

Метрические пространства.

Евклидово пространство – это пространство, элементы которого выглядят Rⁿ: x = (x₁, x₂, …, x_n).

Множество X, элементы которого называются точками, есть метрическое пространство, если любым двум точкам p и q можно поставить в соответствие действительное число r(p, q), которое  называется расстоянием от p до q, и это число удовлетворяет трем аксиомам:

1)  r(p, q) > 0, если q ¹ p и r(p, q) = 0, если q = p;

2)  r(p, q) = r(q, p) – симметричность;

3)  r(p, q) £ r(p, r) + r(r, q), "r Î X.

R¹: r(x, y) = |x – y| - метрика R¹.

Пусть точка x принадлежит метрическому пространству X, а R > 0. Тогда открытым/замкнутым шаром B с центром в точке x и радиусом R называют множество всех y Î X: r(x, y) < r (открытый шар) / r(x, y) £ r (закрытый шар).

Множество Y являющееся подмножеством метрического пространства X называют выпуклым, если для любых y₁, y₂, принадлежащих Y выполняется ay₁ + (1 - a)y₂ ÎY, 0 < a < 1.

Окрестностью точки p из метрического пространства X называется такое множество точек q, для которых r(p, q) < R, где R – радиус окрестности точки p.

Точка p называется предельной точкой множества X, если любая окрестность точки p содержит точку q ¹ p, q Î X.

Если точка p принадлежит  множеству X, но не является предельной точкой этого множества, тогда точку p называют изолированной точкой множества X.

Множество X замкнуто, если оно содержит все свои предельные точки.

Точка p, принадлежащая множеству X, называется граничной точкой, если любая окрестность этой точки p содержит как точки из множества X, так и точки из дополнения X. В случае, если множество содержит свою границу, оно называется замкнутым.

Все метрические пространства Rⁿ и Æ одновременно открытые и закрытые.

Точка p называется внутренней точкой множества X, если эта точка имеет окрестность N такую, что N является подмножеством X, т.е. p входит во множество X вместе со своим шаром.

Множество X открыто, если каждая точка множества X является его внутренней точкой.

Множество X совершенно, если оно замкнуто, и каждая точка этого множества является его предельной точкой.

Множество X ограниченно, если существуют вещественное число m и точка q Î Rⁿ такая, что r(p, q) < m, для "p, q ÎX.

Множество X называется всюду плотным в Rⁿ, если любая точка из Rⁿ является предельной точкой множества X и/или точкой, принадлежащей множеству X.

Теорема. Если точка p – это предельная точка множества X, то любая окрестность точки p содержит бесконечно много точек, принадлежащих X.

Доказательство. Предположим, что существует такая окрестность точки p, которая содержит конечное число точек множества X, и пусть q₁, q₂, …, q_n – эти точки. Точки q₁, q₂, …, q_n – это точки пересечения окрестности N с множеством X, при этом эти точки не совпадают с точкой p (q_i ¹ p, i = 1, 2, …, n). Рассмотрим расстояния r(p, q_i), i = 1, 2, …, n и выберем из этих расстояний минимальное – r (r = min (r (p, q_i)), i =1, 2, … n).  Затем построим окрестность с радиусом r и с центом в точке p (N_r(p)). Эта окрестность не содержит ни одной точки q_i принадлежащей X. Следовательно, по определению p не может быть предельной точкой множества X. Полученное противоречие доказывает теорему.

Следствие. Конечное множество точек не имеет предельных точек.

Теорема. Множество X открыто тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто.

Доказательство. Пусть дополнение X замкнуто. Выберем x Î X, тогда x Ï дополнению X и не является придельной точкой множества X, значит, существует такая окрестность N, что N Ç дополнение X = Æ, т.е. N Ì X, т.е. по определению x – это внутренняя точка множества X. Таким образом, множество X открыто.

Пусть множество X открыто, а точка x – его предельная точка, тогда любая окрестность N(x) содержит некоторую точку, принадлежащую дополнению X, которое не совпадает с точкой x. Это значит, что x не является внутренней точкой множества X. Следовательно, дополнение к множеству X замкнуто.

Следствие. Множество X замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение открыто.

Теорема.

1)  Для любого семейства {Ga} открытых множеств G, множество, которое является объединением всех Ga, будет открытым;

2)  Для любого семейства {Fa} замкнутых множеств F, множество, которое является пересечением всех Fa, будет замкнутым;

3)  Для любого конечного семейства открытых множеств {F₁, F₂, …, F_n}, пересечение G_i (i = 1, 2, …, n) будет открыто;

4)  Для любого конечного семейства замкнутых множеств {G₁, G₂, …, G_n}, объединение F_i (i = 1, 2, …, n) будет замкнуто.

Доказательство.