Метрические пространства. Евклидово пространство. Теоремы, страница 3

Множество X открыто, если каждая точка множества X является его внутренней точкой.

Множество X совершенно, если оно замкнуто, и каждая точка этого множества является его предельной точкой.

Множество X ограниченно, если существуют вещественное число m и точка q Î Rⁿ такая, что r(p, q) < m, для "p, q ÎX.

Множество X называется всюду плотным в Rⁿ, если любая точка из Rⁿ является предельной точкой множества X и/или точкой, принадлежащей множеству X.

Теорема. Если точка p – это предельная точка множества X, то любая окрестность точки p содержит бесконечно много точек, принадлежащих X.

Доказательство. Предположим, что существует такая окрестность точки p, которая содержит конечное число точек множества X, и пусть q₁, q₂, …, q_n – эти точки. Точки q₁, q₂, …, q_n – это точки пересечения окрестности N с множеством X, при этом эти точки не совпадают с точкой p (q_i ¹ p, i = 1, 2, …, n). Рассмотрим расстояния r(p, q_i), i = 1, 2, …, n и выберем из этих расстояний минимальное – r (r = min (r (p, q_i)), i =1, 2, … n).  Затем построим окрестность с радиусом r и с центом в точке p (N_r(p)). Эта окрестность не содержит ни одной точки q_i принадлежащей X. Следовательно, по определению p не может быть предельной точкой множества X. Полученное противоречие доказывает теорему.

Следствие. Конечное множество точек не имеет предельных точек.

Теорема. Множество X открыто тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто.

Доказательство. Пусть дополнение X замкнуто. Выберем x Î X, тогда x Ï дополнению X и не является придельной точкой множества X, значит, существует такая окрестность N, что N Ç дополнение X = Æ, т.е. N Ì X, т.е. по определению x – это внутренняя точка множества X. Таким образом, множество X открыто.

Пусть множество X открыто, а точка x – его предельная точка, тогда любая окрестность N(x) содержит некоторую точку, принадлежащую дополнению X, которое не совпадает с точкой x. Это значит, что x не является внутренней точкой множества X. Следовательно, дополнение к множеству X замкнуто.

Следствие. Множество X замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение открыто.

Теорема.

5)  Для любого семейства {Ga} открытых множеств G, множество, которое является объединением всех Ga, будет открытым;

6)  Для любого семейства {Fa} замкнутых множеств F, множество, которое является пересечением всех Fa, будет замкнутым;

7)  Для любого конечного семейства открытых множеств {F₁, F₂, …, F_n}, пересечение G_i (i = 1, 2, …, n) будет открыто;

8)  Для любого конечного семейства замкнутых множеств {G₁, G₂, …, G_n}, объединение F_i (i = 1, 2, …, n) будет замкнуто.

Доказательство.

5)  Пусть G равно пересечению всех Ga и пусть X принадлежит G, тогда x принадлежит Ga для любого a. Т.к. множество Ga открытое, то x – внутренняя точка множества G, следовательно, G – открытое множество.

6)  Из пункта 1 получим доказательство второго утверждения следующим образом: дополнение к пересечению всех дополнений к Fa равно объединению всех Fa, т.к. дополнение к Fa открыто. Следовательно, дополнение к пересечению всех Fa открыто, и как следствие – пересечение всех Fa замкнуто.

7)  Пусть H равно пересечению конечного числа G_i. Для каждого x, принадлежащего H, существует окрестность Ni_ri, такая что Ni является подмножеством G_i. Выберем из всех радиусов r_i минимальный (min (r_i) = r) – r. Пусть Nr – окрестность точки x радиуса r. Получаем, что Nr является подмножеством G_i, i =1, 2, … n. Значит, N является подмножеством H, и как следствие, H открыто.