Линейное свойство определителя. Алгебраические дополнения и миноры

4.  Линейное свойство определителя.

a)  Если все элементы j-го столбца определителя D представлены в виде

 (i=1,2,…,n),

где λ и µ числа из поля F, то

,

причем у определителей  и  все столбцы, кроме j-го, такие же, как у определителя D, а j-й столбец состоит у определителя  из чисел , у определителя  – из чисел .

Доказательство. Действительно, любой член определителя D можно представить в виде

.

Отсюда следует, что

.

Для того, чтобы записать в удобном виде обобщение линейного свойства, обозначим через  определитель, который получается при замене элементов j-го столбца определителя D на числа . Тогда свойство 4а) можно записать так

).

b)  Обобщение линейного свойства:

если каждый элемент j-го столбца есть линейная комбинация

,

то

.

5.  Общий множитель всех элементов некоторого столбца можно выносить за знак определителя.

Доказательство. Из свойства 4 следует, что если , то

.

6.  Если некоторый столбец определителя состоит из нулей, то D=0.

Доказательство.

.

7.  Инвариантность определителя к линейному комбинированию столбцов.

a)  Определитель не изменится, если к элементам одного из его столбцов прибавить соответствующие элементы любого другого столбца, умноженные на фиксированное число.

Доказательство. Действительно, пусть к j-му столбцу прибавляется k-й , умноженный на число λ. Тогда имеем:

b)  Обобщение: определитель не изменится, если к элементам его j-го столбца прибавить соответствующие элементы k-го столбца, умноженные на число λ, затем элементы l-го столбца, умноженные на число µ,  … , элементы p-го столбца, умноженные на число τ .

8.  Все свойства, доказанные для столбцов определителя, остаются справедливы и для его строк.

9.  .

Алгебраические дополнения и миноры.

Рассмотрим произвольный, например, j-й, столбец определителя D:

Соберем в правой части все слагаемые, содержащие , и вынесем эти элементы за скобки. Получим:

                                                 ()                                                                     

Здесь мы обозначим через  величину, стоящую в i-ой скобке; она называется алгебраическим дополнением элемента  в определителе D. Полученная формула называется формулой разложения определителя D по элементам j-го столбца.

Аналогично выводится формула разложения определителя по элементам i-ой строки:

                        ()

Таким образом, справедлива следующая

Теорема 1. Сумма всех произведений элементов какого-либо столбца (или строки) определителя D на соответствующие алгебраические дополнения равна самому определителю D.

Теорема 2. Сумма всех произведений элементов какого-либо столбца (или строки) определителя D на алгебраические дополнения элементов другого столбца (строки) равна нулю.

Доказательство. Заменим в правой и левой частях равенства () элементы  на соответствующие элементы какого-либо другого, например k-го, столбца. Тогда определитель слева в () будет иметь два одинаковых столбца и, по свойству 3, будет равен нулю, т.е. при

Такими же рассуждениями при  из формулы () получаем

Если зачеркнуть в матрице n-го порядка i-ю строку и j-й столбец, то оставшиеся элементы образуют некоторую матрицу ()-го порядка, определитель которого называется минором и обозначается .

Теорема3.Справедлива формула

.

Доказательство.Пусть i=1, j=1. Соберем в правой части равенства

 

все члены, содержащие , и вынесем за скобки. Будем иметь: