Кривые второго порядка. Классификация кривых второго порядка, страница 3

      Выберем начало О прямоугольной системы координат в середине отрезка [FD], представляющего собой перпендикуляр, опущенный из фокуса F на директрису (предполагается, что фокус не принадлежит директрисе), а оси Ox и Oy направим так, как показано на рис. 8.3. Пусть длина отрезка [FD] равна p. Тогда в выбранной системе координат  и каноническое уравнение параболы имеет вид

      .                                                                                                         (8.4.6)

Величина p называется параметром параболы.

 

Рис. 8.3

      Парабола имеет ось симметрии, которая называется осью параболы. Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы. Если парабола задана своим каноническим уравнением (8.4.6), то осью параболы является ось Ox. Очевидно, вершиной параболы является начало координат.

      Пример 1. Точка А = (2,–1) принадлежит эллипсу, точка F = (1,0) является его фокусом, соответствующая F директриса задана уравнением . Составьте уравнение этого эллипса.

      Решение. Будем считать систему координат прямоугольной. Тогда расстояние  от точки А до директрисы  в соответствии с соотношением (8.1.8), в котором , равно

      .

Расстояние  от точки А до фокуса F равно

      ,

что позволяет определить эксцентриситет эллипса

      .

      Пусть M = (x,y) – произвольная точка эллипса. Тогда расстояние  от точки М до директрисы  по формуле (8.1.8) равно

,

а расстояние  от точки М до фокуса F равно

      .

      Поскольку для любой точки эллипса отношение  есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса, отсюда имеем

     

или

     

или

      .

      Пример 2. Кривая задана уравнением

     

в прямоугольной системе координат. Найдите каноническую систему координат и каноническое уравнение этой кривой. Определите тип кривой.

      Решение. Квадратичная форма  имеет матрицу

      .

Ее характеристический многочлен

     

имеет корни l₁ = 4 и l₂ = 9. Следовательно, в ортонормированном базисе из собственных векторов матрицы А рассматриваемая квадратичная форма имеет канонический вид

      .

      Перейдем к построению матрицы ортогонального преобразования переменных, приводящего рассматриваемую квадратичную форму к указанному каноническому виду. Для этого будем строить фундаментальные системы решений однородных систем уравнений  и ортонормировать их.

      При  эта система имеет вид

     

Ее общим решением является . Здесь одна свободная переменная. Поэтому фундаментальная система решений состоит из одного вектора, например, из вектора . Нормируя его, получим вектор .

      При  также построим вектор . Векторы  и  уже ортогональны, так как относятся к различным собственным значениям симметричной матрицы А. Они составляют канонический ортонормированный базис данной квадратичной формы. Из столбцов их координат строится искомая ортогональная матрица (матрица поворота)

      .

      Проверим правильность нахождения матрицы Р по формуле , где  – матрица квадратичной формы в базисе :

.

Матрица Р найдена верно.

      Выполним преобразование переменных

     

и запишем уравнение данной кривой в новой прямоугольной системе координат со старым центром и направляющими векторами :

   

где .

      Получили каноническое уравнение эллипса

      .