Интегралы, зависящие от параметров. Эйлеровы интегралы

Интегралы, зависящие от параметров

Рассмотрим ф-цию 2-х переменных f(x,y) которая определена для

И пусть для  ф-ция f интегрируема на отрезке [a,b] в собств. Смысле (или несобств) Тогда   (1)  будет ф-цией параметра у.

Если 1) для ф-ций F(x,y) при   конечная предельная ф-я

         2)

    то в этом случае можно сказать, что ф-я f(x,y) стремится к предельной ф-и  равномерно отн-но Х

ТЕОРЕМА 1: Если f(x,y) при постоянном у интегрируема по х на [a,b] и при  стремится к  равномерно по Х, то имеет место равенство

Д-ВО: Оценим  В силу усл-я 2) из определения

ТЕОРЕМА 2: Если ф-я f(x,y) опред и дифф как ф-я 2-х переменных на прямоугольнике [a,b;c,d]=[a,b]x[c,d] то интеграл (1) будет непрер ф-ей от у на [c,d].

Д-ВО: из определения равномерной непрерывности + Теорема 1

Правило Лейбница : Пусть сущ-ет производная по у ф-и f(x,y) тогда вычисление  происходит след образом     (5)

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА

ТЕОРЕМА 3: Пусть f(x,y) опред в прямоугольнике [a,b;c,d] и непрер по х на [a,b] при постоянном у  из [c,d]. Пусть во всей области  непрер как ф-я 2-х переменных.

Тогда у [c,d] имеет место ф-ла (5)

Д-ВО: Рассм. - зависит от параметра h. Затем доказываем возможность предельного перехода под знаком интеграла с помощью т.Лагранжа

ИНТЕГРИРОВАНИЕ  ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА

ТЕОРЕМА 4: Если ф-я f(x,y) - непрер ф-я 2-х переменных в прямоугольнике [a,b;c,d] то имеет место ф-ла

Д-ВО: доказываем вспомог. Рав-во  Вычисляем произв обеих частей рав-ва по  и применяем к правой части правило Лейбница. Получаем одно и тоже.

   (8)

ТЕОРЕМА 5: Пусть f(x,y) опред и непр в прямоугольнике [a,b;c,d], а кривые  при  непрер и не выходят за пределы отрезков [c,d] и [a,b].

Тогда  Д-ВО: (8)= (9). Первый равен искомому выражению, а остальные доказываем, что при стремятся к нулю.

ТЕОРЕМА  6: Если кроме условий теоремы 5 для ф-и f(x,y) выполняется след - т.е. у нее  произв по у т.е. определ в [a,b;c,d] а у ф-и  и  также сущ произв  '  и’ тогда интеграл (8) можно придифф по параметру у и эта производная будет равна

(10)

Д-ВО: воспользуемся соотношением (9). 1-ый интеграл(пределы постоянны) по теор3 его производная равна.Для второго  и третьего  по теореме о среднем и переходя к пределу чтд.

Равномерная сходимость интеграла завис от параметров

(1)

Условие равномерной сходимости: Для того , чтобы интеграл (1) сх-ся равномерно от-но y в области Y  

ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ

Пусть             интегрируема по х в каждом конечном промежутке [a,b] если  такая ф-я интегрируемая в беск промежутке от А до + что для любого  выполняется след нер-во: то интеграл (1) сходится.

Д-ВО: по св-вам мажоранты

ВТОРОЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ

Рассм. (3)  .f(x,y) интегр. По x [a,b], a g(x,y) – монотонна по Х, если интеграл (1) сх-ся равн. От-но у, а ф-я < L равномерно ограничена, то интеграл (3) сх-ся равномерно в области Y

ТРЕТИЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ

Если  будет равном ограничен  , а ф-я g(x,y) при  равномерно отн-но у тогда интеграл (3) сх-ся равномерно от-но у

ЧЕТВЕРТЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ

(4)  Если несобств интеграл  сх-ся, а g(x,y) монотонна по х и равномерно ограничено, то интеграл (4) сх-ся равномерно.

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ РАВН СХ-СТИ

(1)

ТЕОРЕМА 1: пусть f(x,y) интегрируема в собств смысле на [] при  и в каждом таком промежутке при  f(x,y) равномерно стремится к ф-и. Если  сх-ся равномерно при x=b, то имеет место соотн-е

Д-ВО: по перестановке предельных переходов.

ТЕОРЕМА 2: Русть f(x,y) опред и дифф как ф-я 2-х переменных для  y

Если интеграл (1) сх-ся равном, то этот интеграл есть ф-я непрерыв на данном отрезке по у

Д-ВО: аналог д-ву для собств интегралов

ТЕОРЕМА 3: Пусть выполнены условия теоремы 2 и ф-я f(x,y) имеет непрер. По x и y производные, и пусть интеграл (1) сх-ся, а интеграл (3) сх-ся равномерно. Тогда  имеет место

ТЕОРЕМА  4: При предположениях  теоремы 2 тогда имеет место (4)

Д-ВО: основывается на определении равн сх-сти и на соотв теореме для собств интегралов.

ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ

Эйлеровым интегралом 1 рода наз-ся интеграл вида  a,b>0 (1).

Он сх-ся для любых a,b>0 и опред след св-ва

1)               док-во чеез подстановку x=1-t

2)               док-во через интегр по частям и развертывание рекурсии

3)               док-во через замену

4)              

Эйлеровым интегралом 2 рода наз-ся интеграл вида(5)  .

1)Г-функция для " a>0 непрерывна и имеет непрерывную производную всех порядков. (7). 2).

.