В случае, когда события А и В совместны, вероятность их суммы выражается формулой
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) ,
где АВ - произведение событий А и В.
Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей.
n n
Р ( Σ Аi) = Σ Р(Аi) .
i = 1 i = 1
Если событие А1, А2, …, Аn несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице:
n
Σ Р(Аi) = 1 .
i = 1
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
Р(А) + Р(Ā) = 1 .
Условной вероятностью события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность обозначается Р (А/В) или Рв(А).
События А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Для независимых событий
Р(А/В) = Р(А); Р(А/В) = Р(В).
Теорема умножения вероятностей
Вероятность произведения двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло:
Р(АВ) = Р(А) Р(А/В) = Р(В) Р(А/В).
Для независимых событий А и В
Р(АВ) = Р(А) Р(В).
Теорема умножения вероятностей для нескольких событий:
Р(А1, А2, …Аn) = Р(А1) Р(А2/А1) Р(А3/А1А2)…Р(Аn/А1,А2, …Аn -1).
В случае, когда события независимые, т. е. появление любого числа из них не меняет вероятностей появления остальных,
n n
Р (П Аi) = П Р(Аi) ,
i = t i = t
Вероятность появления хотя бы одного из независимых в совокупности событий А1, А2, … Аn вычисляется по формуле
n
Р(А) = 1 – П Р(Āi) .
i = t
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧА № 1
Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие А - выбранное число делится на 5; событие В - данное число оканчивается нулем. Что означают события А - В и АВ?
ЗАДАЧА № 2
Событие А - хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное, событие В - бракованных изделий среди них не менее двух. Что означают противоположные события А и В?
ЗАДАЧА № 3
Бросают две игральные кости. Пусть А - событие, состоящее в том, что сумма очков равна пяти, а В - событие, заключающееся в том, что хотя бы на одной из костей выпала единица. Описать события АВ и АВ.
ЗАДАЧА № 4
Рабочий изготовил n деталей. Пусть событие Аi , i = 1, 2, ... , n, заключается в том, что i-я деталь имеет дефект. Записать событие, заключающееся в том, что: а) ни одна из деталей не имеет дефектов; б) хотя бы одна деталь имеет дефект.
ЗАДАЧА № 5
Событие А - спортсмен прыгнул дальше 7 метров, событие В - мужчина прыгнул дальше женщины, событие С - спортсменка прыгнула дальше 7 метров. Что означают события АВС, А - АВ и АВС?
ЗАДАЧА № 6
Пусть А,В,С - три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А,В,С:
а) произошло только А;
б) произошли А и В, но С не произошло;
в) все три события произошли;
г) произошло по крайней мере одно из этих событий;
д) произошли по крайней мере два события;
е) произошло ровно одно из этих событий;
ж) произошло ровно два из этих событий;
з) ни одно событие не произошло;
и) произошло не больше двух событий.
ЗАДАЧА № 7
В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша (безразлично: денежного или вещевого) владельца одного билета?
ЗАДАЧА № 8
Электронное устройство состоит из 12 элементов 1 типа, 7 элементов 2 типа и 11 элементов 3 типа. Устройство может выйти из строя в результате неисправ-
ности какого-то одного элемента. Найти вероятность того, что это элемент или 1, или 3 типа.
ЗАДАЧА № 9
Круговая мишень состоит из 3-х зон: I, II, III. Вероятность попадания в I зону при одном выстреле 0,15, во II зону - 0,23, в III зону - 0,17. Найти вероятность промаха.
ЗАДАЧА № 10
Найти вероятность того, что взятое наудачу двухзначное число окажется кратным либо 5, либо 2, либо тому и другому.
ЗАДАЧА № 11
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.