Фундамент анализа. Процедура факторизации

§ 7. Фундамент анализа, 3

Процедура факторизации

7.1. Бинарное отношение эквивалентности. Напоминание:

А ´ A = {(x; y) | x Î A и  y Î A}.

Определение. Отношением эквивалентности на множестве А называется бинарное отношение U_f Ì А ´ A, удовлетворяющее условиям:

1.  x Î A (x; y) Î U_f  (рефлексивность);

2.  (x; y) Î U_f Þ (y; x) Î U_f  (симметричность);

3.  ((x; y) Î U_f и (y; z) Î U_f) Þ (x; z) Î U_f (транзитивность).

Примеры. 1. Равенство рациональных чисел:

" x Î Q:  x = x;   x = y Þ y =x; x = y и y = z Þ x =z.

2. Параллельность плоскостей.

3. Сонаправленность векторов.

4.  Конгруэнтность (равенство) треугольников.

Если некоторое множество А каким-либо способом представлено в виде объединения своих непустых попарно непересекающихся подмножеств, то говорят о разбиении множества на классы.

Пример 1. Множество треугольников по величине углов разбиваются на три класса.

2. В § 6 множество последовательностей рациональных чисел разбито на 3 класса: фундаментальные последовательности, сходящиеся к 0, фундаментальные последовательности, не сходящиеся к 0, нефундаментальные последовательности.

Определение. Пусть на множестве А задано отношение эквивалентности. Подмножество А, образованное из всех эквивалентных между собой элементов, называется КЛАССОМ эквивалентности.

Теорема. Отношение эквивалентности на А определяет разбиение А классы.

Доказательство. Обозначим через К(а) множество всех элементов, эквивалентных а Î A; K (b) – множество элементов, эквивалентных b Î A. Покажем, что 2 класса эквивалентности R(a) и R(b) всегда либо совпадают, либо не пересекаются.

Допустим, что классы K(a) и K(b) пересекаются и пусть с – их общий элемент: c Î K(a) и c Î K(b). Отношение эквивалентности на A обозначим " ~ ". На основании определения класса эквивалентности

c Î K(a) Û c ~ a;

c Î K(b) Û c ~ b.

В силу симметричности отношения эквивалентности a ~ c и c ~ b, тогда на основании транзитивности отношения эквивалентности имеем a ~ b. Таким образом, классы K(a) и K(b) состоят из эквивалентных между собой элементов, то есть эти классы совпадают. ►

Из предыдущего следует:

1)  2 класса эквивалентности K(a) и K(b) равны тогда и только тогда, когда a ~ b.

2)  Классы эквивалентности полностью определяются любым своим элементом, который в силу этого называют представителем класса. Так как каждый элемент множества А является представителем некоторого класса, то взяв объединение всех (заведомо не пустых) классов эквивалентности получим все множество A, следовательно, совокупность всех классов эквивалентности есть разбиение множества A на классы.

Процесс перехода от множества A к новому множеству, элементами которого являются классы эквивалентности, называют факторизацией множества A по отношению эквивалентности. Процедура факторизации играет важную роль в математике.

7.2. Эквивалентные фундаментальные последовательности рациональных чисел.

В параграфе 4 было установлено, что если последовательность рациональных чисел сходится к некоторому пределу, то она фундаментальна, то есть если lim q_n = q₀ Î Q то " 0 < e Î Q $ p Î N (" m Î N, " n Î N, m ³ p; n ³ p) Þ |q_m – q_n| £ e.

Решение задачи, поставленной в параграфе № 5, будет дано в настоящем параграфе с помощью процедуры факторизации.

Определение. Будем говорить, что последовательности (g_n) и (r_n) рациональных чисел находятся в отношении "~" и писать (g_n) ~ (r_n), если их разность (g_n – r_n) является нулевой последовательностью.

Пример. (2/n) ~ (1/n); nÎN.

Теорема. Отношение "~" на множестве фундаментальных последовательностей рациональных чисел является отношением эквивалентности.

◄ Требуется доказать, что

1) (g_n) ~ (g_n);

2) (g_n) ~ (r_n) Þ (r_n) ~ (g_n);

3) ((g_n) ~ (r_n) и (r_n) ~ (s_n)) Þ (g_n) ~ (s_n).

(1) следует из того, что " 0 < e Î Q " nÎN |g_n – g_n|=0<e.

(2) следует из определения отношения эквивалентности.

Докажем (3).

Из определения отношения эквивалентности имеем

((g_n) ~ (r_n)) Û " 0 < e Î Q $ p₁ Î N (" n Î N, n ³ p₁) Þ |q_n – r_n| £ e/2.

((r_n) ~ (s_n)) Û " 0 < e Î Q $ p₂ Î N (" n Î N, n ³ p₂) Þ |r_n – s_n| £ e/2.

Тогда

" n ³ p = max {p₁, p₂}

|g_n – s_n| = |g_n – r_n + r_n – s_n| £ |g_n – r_n| + |r_n – s_n| £ e/2 + e/2 = e. ►

Отношение эквивалентности на множестве А осуществляет разбиение его на классы.

Два класса эквивалентности равны тогда и только тогда, когда их представители эквивалентны.

Теорема. Если представитель класса эквивалентности есть нулевая последовательность, то и все остальные представители этого класса – нулевые последовательности. Если класс эквивалентности содержит положительную (отрицательную) фундаментальную последовательность рациональных чисел, то и все остальные представители этого класса положительные (отрицательные) фундаментальные последовательности рациональных чисел.