Функции многих переменных (Работа № 16)

РАБОТА 16. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

16.1.    Найти и изобразить область определения данной функции:

1)                                                            2)                    

3)                                                  4)     

5)                                    6)

7)

16.2.    Для отображения  найти образ  множества  и определить, является ли  взаимно однозначным отображением, если:

1)

2)

3)

4)

5)

16.3.    Для отображения  найти образ  множества  и определить, является ли  взаимно однозначным отображением, если:

1)

2)

16.4.    Найти , если .

16.5.    Найти , если .

16.6.    Найти , если:

1)     2)

16.7.    Пусть . Найти функцию , если .

16.8.    Пусть . Определить функции , если .

16.9.    Найти , если .

16.10.  Показать, что для функции :

16.11.  Показать, что для функции :

16.12.  Показать, что для функции  оба повторных предела

1)                 2)

3);        4).

16.14.  Найти предел:

16.15.  Будет ли  фундаментальной последовательностью в  , если:

1)                           2) ?

16.16.  Будет ли  фундаментальной последовательностью в , если ?

16.17.  Найти предел последовательности  в , если .

16.18.  Будет ли базой на множестве N следующая системы множеств:

1)                            2) ;

3) ;                  4) ?

16.19.  Пусть  - последовательность в . Что означает существование предела последовательности по каждой из баз, указанных в задании 16.18? Описать все сходящиеся по этим базам последовательности.

16.20.  Доказать, что любое линейное отображение  непрерывно.

16.21.  Пусть  - матрица размеров  - фиксированный вектор. Преобразование

, называется аффинным. Доказать, что аффинное преобразование непрерывно на .

16.22.  Пусть . Доказать, что отображение  непрерывно в точке  тогда и только тогда, когда каждая координатная функция  непрерывна в точке .

16.23.  Доказать, что отображение , заданное соотношением  не является непрерывным в точке (0;0).

16.24.  Доказать непрерывность на  отображения , если:

1) ;                            2)

3)

16.25.  Пусть .

1) Показать, что всякая прямая, проходящая через точку (0;0), содержит некоторый интервал с центром в точке (0;0), принадлежащий множеству .

2) Пусть отображение  задаётся соотношением  Доказать, что хотя для каждой точки  отображение , определённое равенством , непрерывно в 0, сама функция  не является непрерывной в точке (0;0).

16.26.  Исследовать на равномерную непрерывность на  отображение , если:

1) ;                            2) .

16.27.  Будет ли равномерно-непрерывным на множестве  отображение ?

16.28.  Пусть . Является ли отображение  непрерывным в своей области определения ? Будет ли  равномерно-непрерывным на ?

16.29.  Пусть отображение  задано следующим образом:

Доказать, что множество точек разрыва отображения  не является замкнутым.

16.30.  Доказать, что если функция  в некоторой области  непрерывна по переменной  и равномерно относительно  непрерывна по переменной , то  непрерывна в .

16.31.  Доказать, что если в некоторой области  функции  непрерывна по переменной  и удовлетворяет условию Липшица по переменной , т.е. , где  - постоянная, то эта функция непрерывна в .