Математика \ Математический анализ

Фундамент анализа. Процедура факторизации, страница 2

◄ 1) Пусть lim gn = 0 ((gn) – нулевая последовательность) и (gn) ~ (rn). Требуется доказать, что lim rn = 0. Имеем

(lim qn = 0) Û (" 0 < e Î Q $ p1 Î N ((" n Î N, n ³ p1) Þ |qn| £ e/2)).

((gn) ~ (rn)) Û (" 0 < e Î Q $ p2 Î N (" n Î N, n ³ p2) Þ |qn – rn| £ e/2).

Взяв в обоих случаях одно и тоже e и положив p = max {p1, p2}, получаем, что

" n ³ p |rn| = |rn – gn + gn| £ |rn – gn| + |gn| £ e/2 + e/2 = e.

2) Пусть теперь (gn) > 0 и (gn) ~ (rn). Требуется доказать, что (rn) > 0. Имеем

(qn) > 0 Û $ 0 < m Î Q: $ p1 Î N ((" n Î N, n ³ p1) Þ qn ³ m;

(gn) ~ (rn) Þ (для e = m $ p2 Î N (" n Î N, n ³ p2) Þ |qn – rn| £ m/2).

Отсюда следует, что " n ³ p = max {p1, p2}

rn = gn + rn – gn > gn –|rn – gn| £ m – m/2 = m/2 > 0. ►

Замечание. В доказательстве теоремы использовано неравенство |а+в| ³ ||а| – |в||.

Теорема. Если в классе эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел имеется последовательность, сходящаяся к q0 Î Q, то и все остальные представители этого класса сходятся к q0 Î Q.

◄ Дано: lim gn = q0 и (gn) ~ (rn). Докажем, что lim rn = q0.

В соответствии с определениями предела последовательности и отношения эквивалентности

(lim gn = q0 и (gn) ~ (rn)) Û (" 0 < e Î Q

($ p1 Î N (" n Î N, n ³ p1) Þ |qn–q0| £ e/2) и

($ p2 Î N (" n Î N, n ³ p2) Þ |qn – rn| £ e/2)).

Тогда " n ³ p = max {p1, p2}

|rn–q0| = |rn – gn + gn – q0| £ |rn – gn| + |gn – q0| £ e/2 + e/2 = e. ►

7.3. Существование непустого носителя структуры полного архимедовски упорядоченного поля.

Цель лекций с общим названием "Фундамент анализа" – установление следующего результата:

Теорема. На множестве R классов эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел может быть введена структура полного архимедовски упорядоченного поля.

Классы эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел будем обозначать строчными буквами греческого алфавита. Запись (qn) Î a означает, что последовательность (qn) – представитель класса эквивалентности a.

Два класса эквивалентности a и b, представителями которых являются (qn) Î a и (rn) Î b, равны (a = b) тогда и только тогда, когда (gn) ~ (rn).

Пусть (qn) Î a и (rn) Î b. Суммой и произведением двух классов эквивалентности a и b называются классы эквивалентности g и d, представителями которых являются, соответственно, последовательности (gn + rn) и (qn  rn). Обозначение: g = a + b; d=ab.

Этим соглашением мы задали все законы композиции "+" и "" на множестве R классов эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Эти законы композиции обладают свойствами (1–1) – (1–4) и (2–1) – (2–5), так как эти свойства выполняются на множестве носителей, то есть на множестве фундаментальных последовательностей рациональных чисел. (См. п.6.6).

Итак, на R введена структура поля.

Нулевым классом (0) назовем единственный класс эквивалентности, содержащий нулевую последовательность.

Класс эквивалентности назовем положительным (отрицательным), если его представитель положительная (отрицательная) фундаментальная последовательность рациональных чисел.

Наличие свойств (3–1), (3–2) и (4–1) унарного отношения "быть положительным" на множестве R классов эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел следует из выполнимости этих свойств на множестве носителей. (См. п.6.6).

Итак, на R введена структура архимедовски упорядоченного поля.

Представителями 0-класса являются последовательности (1/n), (–1/n), ((–1)n/n), а также постоянная последовательность (0; 0; ... 0; ...).

Класс эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел назовем рациональным, если среди его представителей имеется постоянная последовательность (q; q; …) рациональных чисел, в противном случае – иррациональным.

Чтобы решить поставленную в параграфе 5 задачу о пополнении множества Q новыми объектами так, чтобы в полученном расширении любая фундаментальная последовательность рациональных чисел сходилась.

Договоримся, что рациональный класс эквивалентности (q; q; ...) будем отождествлять с рациональным числом q.

Примеры. 1 = {(1); (1+1/n); (1–1/n); ...};

0 = {(0); (1/n); (–1/n); ...};

Тогда N, ZиQ – собственные подмножества множества R классов эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Теперь ясно, что решение поставленной в параграфе 5 задачи будет состоять в принятии в качестве предела иррациональной фундаментальной последовательности рациональных чисел (qn) класс эквивалентности, представитель которого – сама последовательность (qn).

Скачать файл