Электродинамика медленных процессов в плазме. Ионно-звуковые волны. Магнитная гидродинамика, страница 5

При этом уравнение движения принимает вид

,

или

                                    ,

или

                                                ,

где .

            3). Таким образом, условия применимости магнитной гидродинамики имеют вид

              

Следует отметить, что при использовании МГД приближения сделаны еще некоторые допущения. Отметим основные из них:

·  Допущение о том, что плазма – единый «коллектив» (одна жидкость), а не многокомпонентная среда. Это приводит к пренебрежению некоторыми типами волн. Кроме того отсутствует возможность анализа неизотермической плазмы : .

·  Пренебрежение потерями за счет вязкости и теплопроводности.

·  Отсутствие учета роли нейтральной компоненты в ситуации частично ионизированной плазмы.

·  Пренебрежение кинетическими эффектами.

14.6. Дисперсионные свойства, полярные диаграммы фазовых скоростей МГД волн. Рассмотрим вопрос о дисперсионных свойствах МГД волн малой амплитуды (линейное приближение) на основе системы уравнений

                       

                                    ,

                                    ,

                                    .

Ограничимся случаем  (пренебрежение влиянием омических потерь). Конечность величины  обеспечивается при выполнении соотношения

                                                .

Эта система уравнений приводится к одному уравнению для :

                        ,                                          (14.9)

где  - скорость Альфвена, . Используем формулы для плоских монохроматических полей (для фурье – образов полей)

                         ,            

            ,    

            ,

          .

С учетом этих формул, уравнение(14.9) приводится к виду

.            (14.10)

Вращением системы координат вокруг оси  добьемся того, чтобы вектор  лежал в плоскости :

                                    ,   .

Проекции уравнения (14.10) на оси  имеют вид

            ,

            ,

            .

            Альфвеновская волна. Из последней системы уравнений следует, что волна, у которой вектор скорости направлен вдоль оси , т.е. перпендикулярен плоскости распространения (плоскости, содержащей векторы  и ), такая волна распространяется независимо от волны с компонентами . Фазовая скорость этой альфвеновской волны имеет вид

                                                .

Вазовая скорость не зависит от скорости звука , т.е. фазовая скорость альфеновской волны одинакова для холодной и горячей плазмы. Это волна поперечная: . В ней не происходит возмущения плотности плазмы.

            Быстрая и медленная магнитозвуковые волны. Условие существования ненулевых решений для волн с компонентами  дает биквадратное дисперсионное уравнение

                                    .

Это уравнение имеет два решения

                                    .

Или

                                    .

Знаки  относятся соответственно к быстрой и медленной магнитозвуковым волнам. Фазовые скорости этих волн зависят не только от угла , но и от скорости звука . В холодной плазме () распространяется одна быстрая магнитозвуковая волна с фазовой скоростью . На Рис.14.1 показана угловая зависимость (полярная диаграмма) скоростей  для случая .

            В предельном случае  существует только одна акустическая волна с фазовой скоростью . Такая ситуация соответствует описанию динамики нейтрального газа.

14.7. Групповые скорости МГД волн. Для одномерного процесса, когда плоская волна распространяется в заданном направлении , имеем

                                                ,             .

В этом частном случае фазовая и групповая скорости МГД волн совпадают. В общем случае неодномерного процесса , фазовая и групповая скорости МГД волн различаются.

            1). Групповая скорость альфвеновской волны. Из формулы для фазовой скорости получим представление

                                                .

Получаем представление для групповой скорости