Электродинамика медленных процессов в плазме. Ионно-звуковые волны. Магнитная гидродинамика, страница 3

где  - электропроводность плазы. Отметим особенности материальной связи (14.1) в движущейся системе координат:

·  линейность,

·  локальность (связь алгебраическая),

·  изотропность ( - скаляр, а не тензор).

Тот факт, что  - это линейное соотношение и уравнения Максвелла – линейные, не должно создавать иллюзий, что в магнитной гидродинамике не будут учтены нелинейные эффекты. Дело в том, что в (14.1) необходимо сделать преобразование перехода в лабораторную систему координат (это приведет к нарушению линейности). Для нерелятивистских процессов с точностью до членов порядка  имеем представления

                                    ,           ,      ,

 - внешнее магнитное поле (ниже будем считать ). Для плотностей токов имеем представления

                                                ,          ,

где  - заряд, концентрация, скорость  - ой компоненты в плазме. С точностью до членов порядка  имеем представления

                                                          ,    ,

где  - плотность электрических зарядов. Ниже ограничимся приближением слабого нарушения электронейтральности:  и получим обобщенный закон Ома для медленных процессов в плазме

                                                .                              (14.2)

Выясним к каким ограничением приводит, использованное неравенство . С этой целью сделаем оценку полей, считая, что плазма состоит из электронов и положительных ионов

                        ,           .

Это приводит к неравенству, характеризующему слабое нарушение электонейтральности плазмы

                                                ,

где параметр  в медленных процессах является величиной порядка единицы.

            Закон Ома (14.2) содержит произведение неизвестных функций . Тем самым, здесь имеет место учет нелинейности. Тот факт, что в закон Ома вошла новая неизвестная функция  (упорядоченная скорость плазмы), делает систему уравнений Максвелла совместно с законом Ома незамкнутой системой уравнений. Возникает необходимость введения в рассмотрение дополнительных уравнений, содержащих  (это будут уравнения динамики плазмы).

14.4. Уравнения динамики плазмы. Перейдем к дальнейшему замыканию системы уравнений магнитной гидродинамики, привлекая уравнения динамики плазмы. Как уже отмечалось выше, плазму будем рассматривать как единый «коллектив», не различая отдельные компоненты.

1). Уравнение движения плазмы

                        ,                      (14.3)

где  - плотность и скорость плазмы,  - плотность электрических зарядов, . В уравнении (14.3) нет слагаемого, учитывающего упругие соударения между частицами плазмы, так как такие соударения не приводят к изменению полного импульса системы. В результате соударений происходит обмен импульсами между отдельными частицами и различными компонентами плазмы. В уравнении движения (14.3) не учитывается диссипация за счет влияния вязкости. Нелинейность содержится в левой части (14.3) и в членах  правой части. В уравнение движения входят две новые неизвестные функции  и . Необходимо добавить дополнительные уравнения для описания этих функций (уравнение неразрывности и уравнение состояния).

            2). Уравнение неразрывности (закон сохранения массы) можно использовать в двух эквивалентных формах

                                                          (14.4)

отметим наличие нелинейности в (14.4).

            3). Уравнение состояния для давления

                                    , либо ,

где  - температура и энтропия. Простейшим видом уравнения состояния (его обычно используют в магнитной гидродинамике) является уравнение состояния совершенного газа

                                                ,                                                      

где  - газовая постоянная.

            4). Уравнение для плотности внутренней энергии  используем в виде

                                                          ,