Поле короткой линейной антенны. Принцип перестановочной двойственности. Различные принципы излучения волн в средах без дисперсии и в средах с дисперсией, страница 8

Поясним смысл этих условий. Если угол между векторами  и  острый, то условию затухания удовлетворяют волны, уходящие по фазе на бесконечность, в этом случае принцип Зоммерфельда справедлив. Если же угол между  и  тупой, то в соответствии с (10.84) затухающими на бесконечности будут волны, у которых  (это волны приходящие по фазе из бесконечности). В таком случае принцип Зоммерфельда несправедлив.

10.17. Потенциалы Лиенара – Вихерта. Поле движущегося заряда. Дипольное излучение. Релятивистское излучение. Рассмотрим задачу о поле произвольно движущегося в однородной материальной среде без дисперсии точечного заряда.

              1). Решение этой задачи построим, используя выражение для запаздывающих потенциалов

                             ,                     ,   (10.84)

где  - радиус – векторы точек наблюдения и интегрирования соответственно, ,  - время запаздывания, равное времени распространения волны от точки интегрирования до точки наблюдения,  - фазовая скорость волны. Для точечного заряда , движущегося со скоростью , имеем представления

                             ,                      ,

где  - радиус – вектор положения точечного заряда в момент времени . Интегрирование в (10.84) осуществляется в лабораторной системе координат. Более удобно пользоваться системой координат, связанной с зарядом. С этой целью введем новую векторную переменную

                                                                       

и представим (10.84) в виде

              ,     ,              (10.85)

где  - якобиан преобразования переменных. Явный вид якобиана можно найти, воспользовавшись соотношением

                                                                        .

Элементы определителя находятся по формуле

           ,

где ,           . Якобиан имеет вид

              .

После интегрирования в (10.85), получим формулы для потенциалов Лиенара - Вихерта

              ,                ,              (10.86)

где ,       .

              2). На основе представлений для потенциалов найдем электромагнитное поле, возбуждаемое движущимся зарядом:

                                           .

Дифференцирование в этих формулах производится по  и

                                           ,

где ,

,                           .

Из этих формул получаем

                             ,                         .

Учитывая формулы Лиенара – Вихерта (10.86), получим

                         ,

                            

где

              ,

,

после довольно громоздких преобразований получается представление для электрического и магнитного полей

                           

                             .

Отметим характерные закономерности для поля, движущегося точечного заряда

1). При , имеем электростатическое поле заряда: .

2). Если скорость движения постоянна, то имеет место закономерность

                                           .

3). При  в дальней зоне имеет место .

Полный поток энергии от неравномерно движущегося заряда будет отличным от нуля на бесконечности.

4). При  и  имеет место приближенное описание

                                           ,

В дальней зоне возможно дополнительное упрощение (дипольное излучение)

                                                          ,

где  - угол между векторами  и . Поле имеет диаграмму направленности с максимумом при .

5). Ультрарелятивистское излучение при . Поле имеет резко выраженную зависимость от угла между векторами  и  (ниже этот угол обозначен ) благодаря множителю :

                                                          .

При ускоренном релятивистском движении заряженной частицы, например, при движении по окружности во внешнем магнитном поле возникает синхротронное (магнитотормозное) излучение.

6). При  возникает черенковское излучение.