Закон электромагнитной индукции Фарадея, страница 6

Задачи для самостоятельного решения

12.1.  В бетатроне ( разновидность ускорителя заряженных частиц) используется изменяющееся во времени магнитное поле: с одной стороны, оно создает силу Лоренца, искривляющую траектории движения  частиц, с другой- порождает вихревое электрическое поле, ускоряющее эти частицы.  Покажите, что в случае пространственно неоднородного, симметричного относительно оси магнитного поля, удовлетворяющего бетатронному условию (величина поля в каждой точке равна половине его среднего значения по площади, ограниченной проходящей через эту точку окружностью с центром на оси симметрии) при любом законе изменения этого поля во времени заряды будут двигаться по окружностям постоянного радиуса.

12.2.  Показать, что при медленном изменении пространственно однородного магнитного поля  траектория движущегося в нем свободного заряда будет меняться таким образом, что обусловленный его вращением магнитный момент в первом приближении останется постоянным во времени. Указание: учесть, что при изменении магнитного поля возникает дополнительная электрическая сила, меняющая скорость частицы.

12.3. Электрон движется вокруг положительно заряженного ядра по круговой орбите (модель атома Резерфорда). Показать, что после включения пространственно однородного магнитного поля, направленного перпендикулярно плоскости этой орбиты, ее радиус останется прежнем.

12.4. Токопроводящий стержень массой M помещен на два параллельных рельса, наклоненных под углом a к горизонту, расстояние между которыми   равно l. Трение отсутствует. Вертикально вверх направлено постоянное магнитное поле В. Как будет изменяться во времени скорость движения стержня, если между рельсами включить а) сопротивление, б) конденсатор, в) катушку (индуктивность) с заданными электрическими параметрами (R, C или L)?

12.5. Рассчитать индуктивность катушки, содержащей N витков токоведущей проволоки, намотанных на кольцеобразный сердечник из магнетика с проницаемостью m, сечение которого представляет собой прямоугольник  a´ b, внешний радиус которого равен R.

12.6. Электрическая цепь состоит из батареи с ЭДС X и внутренним сопротивлением r, катушки с индуктивностью L и ключа. В начальный момент ключ был замкнут. Рассчитать зависимость напряжения на ключе после его быстрого размыкания. Указание: сопротивление разомкнутого ключа (точнее - сопротивление воздуха между его контактами) очень велико, но не бесконечно: R>>r.

12.7. На сердечник цилиндрической формы очень плотно друг к другу намотаны две катушки, содержащие одинаковое число витков. Одна из катушек замкнута на сопротивление R, другая в начальный момент времени подсоединяется к батарее с ЭДС X и очень малым внутренним сопротивлением. Определить токи как функции времени в каждой из катушек. Сопротивления проводов очень малы.

12.8. Содержащий N  витков соленоид длины l радиусом r продет через проволочное кольцо радиусом R>r. Найти ЭДС в соленоиде, если в кольце создан электрический ток, возрастающий во времени по линейному закону: i=at.

12.9. Выражение  для объемной плотности магнитной энергии было получено в результате рассмотрения очень частного примера. Попытайтесь получить его  для случая произвольного (но ограниченного в пространстве) распределения токов. Указание: как обычно, идею решения задачи магнитостатики может подсказать аналогия с электростатикой. В данном случае представляется полезным начать с доказательства формулы лля энергии взаимодействия системы магнитных диполей: W=1/2´S(m_k,A_k), смысл входящих в которую величин должен быть ясен из сравнения с электростатикой.

12.10.  Куб с ребром a, спаянный из 12 проволочек сопротивлением R каждая, равномерно вращается вокгуг диагонали, проходящей через противоположные вершины. Постоянное магнитное поле B направлено перпендикулярно оси вращения. Найти среднюю тепловую мощность, выделяющуюся в кубе. Вторичными магнитными полями токов, протекающих по кубу пренебречь. Угловая скорость вращения куба известна.