Закон электромагнитной индукции Фарадея, страница 3

Пример 12.2.     Переменный трехфазный ток

Три рамки размерами a´b, имеющие одну общую сторону и расположенные так, что их плоскости составляют друг с другом углы по 120 ⁰ помещены в однородное магнитное поле, вращающееся вокруг общей стороны рамок с постоянной угловой скоростью w.. Описанное устройство подключено к трем одинаковым нагрузкам с сопротивлениями по R, как показано на рис.12.3. Рассчитать среднюю тепловую мощность, выделяющуюся на нагрузках и токи, протекающие по подводящим проводам.

Решение:          

              Ориентации плоскостей рамок (т.н. обмоток генератора переменного трехфазного тока) в пространстве удобно задавать при помощи единичных векторов, направленных по нормалям к ним: e_k   (k=0, 1 2). Выберем начало отсчета времени так, чтобы направление вращающегося магнитного поля совпадало с одним из этих векторов, например, e₁. Тогда магнитные потоки, пронизывающие рамки, будут изменяться во времени по гармонически законам с одинаковой частотой, но различными начальными фазами (12.12). Соответствующие ЭДС в обмотках определяются по закону Фарадея, а мгновенные значения токов, протекающих по каждой из трех цепей - по закону Ома (12.13). При этом предполагается, что вторичные магнитные поля, создаваемые этими переменными токами настолько малы, что обусловленные ими меняющиеся магнитные потоки не вносят заметного вклада в ЭДС индукции.

              Среднюю за период мощность, выделяемую на каждой из нагрузок, можно определить, усреднив по периоду мгновенную мощность, вычисляемую по закону Джоуля-Ленца (12.14).

              Токи, протекающие по фазовым проводам (обозначены красным, синим и зеленым цветом) вычислялись при расчете мощностей, выделяемых на нагрузках. Протекающий по нулевому проводу (обозначен черным цветом) ток, согласно закону Кирхгофа, равен сумме этих токов. Задача суммирования трех функций из (12.13) может быть решена методами тригонометрии. Однако гораздо проще выполнить это суммирование, перейдя к комплексному представлению тригонометрических функций (12.15). Полученный нулевой результат, разумеется, справедлив только в том случае, когда все три нагрузки одинаковы. Это объясняет устойчивое желание энергетиков иметь симметричную нагрузку на все трех фазах: в этом случае по нулевому проводу ток не протекает и тепловые потери на нем отсутствуют.

12.3.   Взаимная индукция

              Если два контура находятся достаточно близко друг от друга, то при протекании тока по первому возникает магнитное поле, часть линий которого проходит через второй контур (рис.12.4). Обусловленный ими магнитный поток через второй контур оказывается линейной функцией от силы тока в первом (12.16). Соответствующий коэффициент пропорциональности называют коэффициентом взаимной индукции (12.17). Выражение для коэффициента взаимной индукции симметрично по двум его индексам, нормирующим контуры, т.о. коэффициенты взаимной индукции двух контуров всегда равны друг другу (12.18). Последнее утверждение иногда называют теоремой взаимности.