Z-преобразование. Свойства Z-преобразования. Z-преобразования типовых последовательностей. Обратное Z-преобразование

Z-преобразование

ГУТ 28

                                                                             

Для ЦС вместо ДПЛ чаще используют Z-П

                                                                                                       

Прямое  Z-П  функции  называется преобразование

                                                                           

 - оригинал, решетчатая функция,

 - z-изображение.

z-преобразование справедливо только в области абсолютной сходимости ряда

                                                                                

 - комплексная величина:

                                                                                                 

или

                                                                                                      

Условие сходимости

                                                                           

т.к. .

Ряд сходится, если .

Например,  для  ряд сходится вне окружности

Область сходимости.

Радиус сходимости.

Рис. 3.1.

Соотношение между Z и P плоскостями (2).

                                                                                   

Откуда

                                                                     

где

1. Мнимая ось плоскости Р переходит в бесконечное число окружностей единичного радиуса

2.

3.

4.

5.

6. Т.о., прохождение точкой интервала  Точкам P-плоскости, лежащим на мнимой оси  соответствует прохождение единичной окружности на Z-плоскости.

7. Точки левой полуплоскости переходят внутрь единичного круга

8. Точка  соответствует центру круга на Z-плоскости (Z=0).

9. Точки правой полуплоскости  отображаются во внешнюю область единичного круга  

.

Взаимно однозначное соответствие между P- и Z-плоскостями можно установить только для полосы между параллельными линиями, параллельными оси Y, пересекающими ось X в точках

Рис. 3.2.

Свойства Z-преобразования.

1. Линейность.

Есть ЧП, равная сумме взвешенных ЧП

                                                                         

Для каждой их них

                                                                       

Тогда

                                               

Доказательство:

                                                                                                            

2. Теорема запаздывания.

Известно: .

Для задержанной последовательности

                                                           

Доказательство:                                              

                                                                                                            

3. Z-преобразование свертки.

Свертке числовых последовательностей

                                               

соответствует Z-изображение

                                                                             

Доказательство:

                                                                            

4. Z-преобразование числовой последовательности, умноженной экспоненту

                                                               

                                                                                     

Доказательство:

                                                                                                            

5. Дифференцирование.

                                                                    

Доказательство:

                                                                                                   

Z-преобразования типовых последовательностей (Т=1)

1. Единичный импульс

                                                                                 

                                          

2. Задержанный единичный импульс

                                                                     

                                           

3. Единичный скачок

                                                                                 

                                                                                                

4. Дискретная экспонента.

                                                                                 

                                                                                                           

5. Числовая последовательность

                                                              

          

6. Доказать

                                                                                    

где

                                      

 - полюсы Z-образа.

Доказательство

Учитывая

   

Запишем

                                

Т.о., полюсы ПФ располагаются в точках . Приведя выражение в скобках к общему знаменателю и проведя сокращения, получим (25) с коэффициентами (24).

                                                                                                      

Таблица соответствий

Таб. 2.3.

Обратное Z-преобразование (A-214)