Дискретные сигналы. Связь спектров аналогового и дискретного сигналов. Влияние формы тактирующего сигнала на спектр дискретного сигнала. Преобразование Лапласа и Фурье от дискретного сигнала

2.2 Дискретные сигналы

Связь спектров аналогового и дискретного сигналов (1-131)

Аналоговый сигнал .

Отсчеты аналогового сигнала .

Идеальный тактирующий сигнал . (Домножение на - функцию изменяет размерность исходного выражения).

Рис.3.4.

Дискретный  сигнал  представляем в виде произведения исходного аналогового сигнала на тактирующий сигнал

                                                  

Так как дельта-функция = 0 везде, кроме t=kT, то можно (1) записать в виде произведения аналогового и тактирующего сигналов.

                                                    

Тактирующий сигнал – периодическая функция, поэтому

                  .                                                                   

Следовательно,

                                                                                                 

Умножение сигнала на  соответствует сдвигу спектра на . Поэтому искомая связь спектров аналогового и дискретного сигналов:

                                                                                                                

Рис.3.5.

Теорема Котельникова.

Появление ложных частот.

Рис. 3.6

Необходимость предварительной НЧ фильтрации.

Рис. 3.7.

Влияние формы тактирующего сигнала на спектр дискретного сигнала (4-381).

Рис. 12.31, 12.32

Тактирующий импульс  определен на интервале от 0 до Т и =0 вне этого интервала. Его длительность .

Тактирующий сигнал сумме тактирующих импульсов.

Отдельный импульс прямоугольной формы амплитуды s(kT) и длительности Т можно представить как свертку .

                                                                     

Тогда

                              

                                                                       

Следовательно, спектры сигналов связаны следующим образом

                                                         

Рис. 12.33 (Лучше С.3-10)

Задание. Рассчитать искажение спектра дискретного сигнала при дискретизации тактирующим сигналом прямоугольной формы для и .

Преобразование Лапласа и Фурье от дискретного сигнала (1-145), (2-147).

Преобразование Лапласа (для одностороннего сигнала)

Таким образом,

                                                                   

Спектр, как и сам сигнал, полностью определяется своими отсчетами.

Иногда аргумент спектральной функции записывают в виде

                                                    

подчеркивая тем самым, что спектр зависит не от  p или непосредственно, а от комбинации .

Преобразование Фурье

                                             

Задание. Вычислить спектр дискретного сигнала  .

Свойства спектров дискретных сигналов (2-147).

Дискретное преобразование Фурье

Было: спектр ДС

                                                          

- бесконечная последовательность,

 - непрерывная периодическая функция с периодом .

Так же для конечных последовательностей

                                                          

ДПФ бесконечной периодической последовательности

Аналоговый периодический сигнал  с периодом  может быть представлен рядом Фурье

,                                                                    

где

Аналогично дискретный периодический сигнал  с периодом

                                                       

можно представить рядом

                  .                                                                     

Здесь проведены замены

                                    .

Для нормированного времени

                                              ,         

где - номер отсчета, соответствующий частоте .

Спектр  периодической последовательности  определяется суммой

                                                 

Заметим, что в (5) и (7) экспоненты  - периодические функции как по , так и по  с одним и тем же периодом . Следовательно, периодическим является не только дискретный сигнал, но и его спектр. В выражениях (6) и (7) мы можем ограничиться частичными суммами (в пределах периода) и записать пару ДПФ в виде (множитель  обычно ставится не в (7), а в (6)):

                                                                                         

Пара преобразований (8) называется прямым и обратным ДПФ периодической последовательности.