Описание ЛДС в Z-области. Передаточная функция. Разновидности представления прямых структур. ПФ и ИХ базовых звеньев первого и второго порядка

Описание ЛДС в Z-области

Передаточная функция.

- основная характеристика  ЛДС в Z-области.

                                                       

Справедливо обратное преобразование

                                                                                

Было рассмотрено 2 способа описания ЛДС во временной области: 1) с помощью формулы свертки, 2) с помощью разностного уравнения.

Применим к обеим частям соответствующих равенств z-преобразование.

Начнем с формулы свертки.

                                                                                                                                                        

Из свойств Z-преобразования

                                                                           

                                                                                         

Из (5) можно получить (1)

                                                                           

Из РУ

                                             

                                                                                                           

Из линейности и теоремы запаздывания

                                           

Запись ПФ в общем виде

                                                                          

Т.о., ПФ – дробно-рациональная функция от с вещественными коэффициентами, степень полинома числителя равна N-1, знаменателя M-1.

Порядок ПФ – максимальное из чисел N-1 и M-1. Далее будем считать

Для определения нулей и полюсов ПФ числитель и знаменатель (10) предварительно умножают на .

Взаимосвязь передаточной функции и РУ

Пример.

Задана ПФ

                                                   

Найти РУ

Разновидности представления ПФ

Различные представления ПФ обусловлены либо возможностью их различного математического представления, либо различным типом ЛДС: КИХ и БИХ.

БИХ-системы

1. Представление ПФ в виде произведения с разложением числителя и знаменателя на простейшие множители первой степени

                                                                  

 - нули и полюсы ПФ, в общем случае – комплексно сопряженные числа.

2. Представление ПФ в виде произведения с разложением числителя и знаменателя на множители второй степени

                                             

 - вещественные коэффициенты, (N-1), (M-1) – четные числа.

Если (N-1) или (M-1) – нечетные числа, то верхний индекс произведения равен N/2 или M/2. При этом  или , т.е. один нуль или полюс будет вещественным.

(12) получается из (11) перемножением сомножителей с комплексно-сопряженными корнями. Покажем это на примере

                                            

Тогда

      

3. Представление ПФ в виде суммы простых дробей первой степени

                                                 

В общем случае полюсы – комплексно-сопряженные (так же, как и коэффициенты ).

Если N>M, то разложение будет иметь вид (С.198)

                                           

Если  полюс имеет кратность m, то в разложении на простейшие ему будет соответствовать сумма

                                                                                                           

4. Представление ПФ в виде суммы дробей второй степени

                                                                                                   

(14) получается из (12) путем суммирования слагаемых с комплексно-сопряженными полюсами.

Дополнительно для БИХ-систем выделяют ПФ полюсного типа

                                                                         

Текущий выходной отсчет зависит от текущего входного и (M-1) выходных отсчетов.

В этом случае ПФ можно представить, разложив знаменатель на простейшие множители первого порядка

                                                                     

или второго порядка

                                              

А также в виде суммы простых дробей первого (13) или второго (14) порядка.

КИХ-системы

Нерекурсивные ЛДС описываются ПФ вида

                                                                                   

(18) может быть представлены в виде разложения на простейшие сомножители первого порядка

                                      

или второго порядка

                                                                                                 

ПФ и ИХ  базовых звеньев первого и второго порядка

Для базового звена первого порядка

                                      

Для базового звена второго порядка

                                                                                    

где  и - модуль и аргумент комплексно-сопряженных полюсов

                                                                                                               

Для записи ИХ не базового звена нужно воспользоваться свойствами линейности и пропорциональности Z-преобразования, а также теоремой о запаздывании.

Для звена первого порядка

                                                                                         

С учетом начальных условий

                                       

Для звена второго порядка

                                                                          

С учетом нулевых начальных условий

                                                                          

Оценка устойчивости ЛДС по ПФ

Был получен критерий устойчивости по ИХ

                                                                                         

Записав ПФ в виде суммы простых дробей первой степени (13), получим выражение для ИХ

                                                            

Тогда

                                                                          

выполняется, если

                                                             

Т.е., ДЛС устойчива, если все полюсы ее ПФ располагаются внутри единичной окружности на Z-плоскости.

Карты нулей и полюсов звеньев первого и второго порядка.

Звено первого порядка

                                                          

имеет вещественные ноль и полюс

                                                                           

Звено второго порядка

                                                                                                            

имеет, как было показано в примере Z-преобразования, комплексно-сопряженные полюсы

                                                                                                    

Выражение для нулей