Расчет элементов металлоконструкции на статическое и динамическое нагружение, страница 11

q = w*h_min/3=332,8*5/3=554,67 Н/м

Из таблицы 3 приложения 6 [1] выбираем швеллер № 12

7. Расчет собственных частот и форм колебаний конструкции.

Определение собственных частот и форм колебаний конечно-элементной модели конструкции производится решением нестандартной задачи на собственные значения [4].

w=0 ,где (7.1)

[K] - глобальная матрица жесткости;

[M]=[M] + [M],

[M] - диагональная матрица масс системы, учитывающая сосредоточенные массы и их моменты инерции;

[M] -матрица масс системы, учитывающая распределенную (собственную) массу элементов;

w- спектр собственных частот (i=1,2,…,n);

{U}- собственный вектор (нормированная форма колебаний системы на i-ой частоте);

Формирование глобальной матрицы [M] осуществляется аналогично матрице [K] в методе конечных элементов через коэффициенты локальной матрицы [M].

Представляя кинетическую энергию одного КЭ через квадратичную форму

Т = 0,5ëû

локальная матрица масс (инерции) будет иметь вид (приводится для плоского случая):

[M^e] = m

Собственные частоты и соответствующие им моды (формы) колебаний для систем с числом степеней свободы n > 500 целесообразно определять методом ортогонального спуска, который в отличии от метода обратных итераций [5] обладает лучшей сходимостью при определении низких, менее 1гц, собственных частот.

В конечномерной постановке задача формулируется как

[K] {u}_i = l_i [M] {u}_i , (7.2)

где l_i = w_i² - квадрат собственной частоты (i=1,2,...);

{u}_i - собственный вектор (форма колебаний) для i-ой частоты.

Итерационный процесс необходимо строить с учетом ортогональности собственных векторов, найденных на предшествующих итерациях ({u}, {u},…, и т.д.), а именно

(7.3)

Задаваясь на первой итерации (n=1) произвольным вектором {X₁}, определяется вектор {Z₁} по соотношению (7.3). Затем решается система

[K] {y} = {Z} ,

в которой норма от найденных обобщенных перемещений ½½y_n₊₁½½ равна l^-1 при выполнении условия

½½y_n₊₁½½ - ½½y_n½½ < EPS.

Собственный вектор для найденной частоты по завершении итерационного процесса определяется как

{u}₁={y₁} / ½½y₁½½.

Затем процесс повторяется, но уже с учетом {u}₁ в (7.3).

При задании EPS=10^-16, ошибка в определении первых пяти собственных частот не превышает (1…3)%.

Определение собственных частот и мод колебаний объекта «в лете», то есть не имеющего точек закрепления в пространстве, связано с рядом особенностей ввиду вырождения в этом случае описанных выше матриц жесткости и инерции.

Уравнение (7.2) преобразуется к виду:

[А] {u}_i = l_i [M] {u}_i , (1.7),

где [А] =[ К] -σ [M],

σ- сдвиг (некое произвольное положительное число).

Искомая собственная частота w_i² = l_i + σ. [3,9].

Для ускорения сходимости и локализации собственных значений в определенных пределах используется метод биссекции [6].

Нахождение собственных частот и форм колебаний конструкции осуществляется программой sobs03.

7.1. Результаты расчетов.

Рис.15 1 форма . f= 1,355 Гц