Понятие предела последовательности

Понятие предела последовательности

Постановка задачи. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

План решения.

1. По определению число  называется пределом числовой последовательности , если .
Это означает, что  неравенство  имеет решение .

2. Находим, при каких  справедливо неравенство

,

т.е. решаем это неравенство относительно .

3. Если решение имеет вид , то  – предел числовой последовательности .

Замечание. Если решение неравенства  нельзя представить в виде , то число  не является пределом последовательности.

Задача 1. Доказать, что  (указать ).

Покажем, что для любого  существует такой номер , что  для всех .

.

.

Из последнего неравенства следует, что можно выбрать  (квадратные скобки означают целую часть) и при любых  будет выполняться неравенство . Значит, по определению предела последовательности

.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где

,

.

План решения.

Здесь  – многочлен степени  (бесконечно большая последовательность порядка ) и  – многочлен степени  (бесконечно большая последовательность порядка ).