Лабораторная работа №8
Тема: Численное решение задачи Коши для ОДУ
Требуется найти решение задачи
, ,
. (1)
Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближенных значений y1, y2,…,yn решения u(x) в заданных точках x1, x2,…,xn. Чаще всего , i=1,2,… . Точки xi называют узлами сетки с шагом h. Для решения задачи применяют одношаговые и многошаговые методы.
Явные одношаговые четырехэтапные методы Рунге-Кутта, в частности, имеют вид
,
,
, (2)
,
.
,
,
, (3)
,
.
При оценке погрешности часто используют правило Рунге. Для этого сначала проводят вычисления с шагом h/2. Если - приближение, вычисленное с шагом h, а - с шагом h/2, то за оценку погрешности вычислений с шагом h/2 можно принять величину
. (4)
При решении задачи Коши для системы нормальных уравнений
,
. (5)
для получения расчетных формул методом Рунге-Кутта достаточно в формулах (2) и (3) заменить и соответственно на и, а коэффициенты на (j=1, 2, 3, 4).
В многошаговых методах для нахождения точки требуется информация о нескольких предыдущих точках.
Рассмотрим метод Адамса-Башфорта
(6)
и метод Адамса-Моултона
. (7)
Оба метода (6) и (7) являются методами четвертого порядка точности, первый из них явный, второй неявный.
Сравним методы Рунге-Кутта четвертого порядка и Адамса-Башфорта четвертого порядка. Для обоих методов порядок погрешности (но не сама погрешность!) одинаков и составляет величину О(h4). Однако способы достижения такой точности различны. В методе Адамса-Башфорта (и других многошаговых методах) она достигается за счет использования информации о предыдущих точках. В методе Рунге-Кутта (и других одношаговых методах) недостающую информацию о поведении правых частей системы получают в результате вычислений в специальным образом выбранных дополнительных точках ( за счет специальной аппроксимации правой части уравнения). Многошаговые методы не требуют дополнительных вычислений правых частей уравнения, в этом смысле они более экономичны, чем одношаговые. Одношаговые методы являются самостартующими: зная (оно задается точно ) находим и т.д. Для начала расчетов по многошаговым методам необходимо вычислить ряд предыдущих значений . Эти значения вычисляют используя какой-либо одношаговый метод того же порядка точности.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.