Лабораторная работа №9
Тема: Численное решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения
Рассмотрим краевую задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка
, ,
, (1)
,
где p(x), q(x), f(x) – заданные функции; с1, с2, с3, d1, d2, d3 –заданные константы.
Заменой , задачу (1) можно свести к краевой задаче для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка
,
, ,
, (2)
.
Замечание: В общем случае (в случае нелинейной системы уравнений первого порядка) краевые условия имеют вид:
, (3)
.
При решении краевой задачи методом стрельбы произвольно задаем
(4)
Затем из первого краевого условия (3), которое принимает вид
, (5)
аналитически или численно находим
. (6)
С начальными данными (4) и (6) численно решаем задачу Коши. Полученные результаты: и подставляем во второе краевое условие (3)
, (7)
которое не будет выполняться, т.к. число выбрано нами произвольно.
Соотношение (7) рассматриваем как уравнение относительно переменной . Корень уравнения (7) находим с заданной точностью методом секущих
, (8)
где i – номер итерации.
В случае линейной задачи (2) начальные условия соответствующей задачи Коши принимают вид
, (9)
Решения задачи Коши , с начальными данными (9) будут иметь линейную зависимость от параметра , поэтому и левая часть уравнения (7) будет линейной функцией аргумента . Следовательно, значение , найденное по формуле секущих (8), при i=1, будет точным корнем уравнения (7). Таким образом, для решения линейной граничной задачи (2) методом стрельбы достаточно трижды решить задачу Коши.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.