Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Лабораторная работа №8

Тема: Численное решение задачи Коши для ОДУ

Требуется найти решение задачи

 , ,

.                                                                                                                    (1)

Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближенных значений y₁, y₂,…,y_n  решения u(x) в заданных точках x₁, x₂,…,x_n. Чаще всего , i=1,2,… . Точки x_i называют узлами сетки с шагом h. Для решения задачи применяют одношаговые и многошаговые методы.

Явные одношаговые четырехэтапные методы Рунге-Кутта, в частности, имеют вид

,

,

,                                                                                             (2)

,

.

,

,

,                                                                                            (3)

,

.

При оценке погрешности часто используют правило Рунге. Для этого сначала проводят вычисления с шагом h/2. Если  - приближение, вычисленное с шагом h, а - с шагом h/2, то за оценку погрешности вычислений с шагом h/2 можно принять величину

.                                                                                                         (4)

При решении задачи Коши для системы нормальных уравнений

,

.                                                                                                                    (5)

для получения расчетных формул методом Рунге-Кутта достаточно в формулах (2) и (3) заменить и соответственно на и, а коэффициенты на (j=1, 2, 3, 4).

В многошаговых методах для нахождения точки требуется информация о нескольких предыдущих точках.

Рассмотрим метод Адамса-Башфорта

                               (6)

и метод Адамса-Моултона

.                                   (7)

Оба метода (6) и (7) являются методами четвертого порядка точности, первый из них явный, второй неявный.

Сравним методы Рунге-Кутта четвертого порядка и Адамса-Башфорта четвертого порядка. Для обоих методов порядок погрешности (но не сама погрешность!) одинаков и составляет величину О(h⁴). Однако способы достижения такой точности различны. В методе Адамса-Башфорта (и других многошаговых методах) она достигается за счет использования информации о предыдущих точках. В методе Рунге-Кутта (и других одношаговых методах) недостающую информацию о поведении правых частей системы получают в результате вычислений в специальным образом выбранных дополнительных точках ( за счет специальной аппроксимации правой части уравнения). Многошаговые методы не требуют дополнительных вычислений правых частей уравнения, в этом смысле они более экономичны, чем одношаговые. Одношаговые методы являются самостартующими: зная   (оно задается точно ) находим и т.д. Для начала расчетов по многошаговым методам необходимо вычислить ряд предыдущих значений . Эти значения вычисляют используя какой-либо одношаговый метод того же порядка точности.