Регрессионный анализ в пакете EXCEL: Методическое указание к выполнению лабораторной работы

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Саратовский государственный технический университет

Балаковский институт техники, технологии и управления

РЕГРЕССИОННОЙ АНАЛИЗ В ПАКЕТЕ EXCEL

Методическое указание к выполнению лабораторной работы

по дисциплине “Идентификация и диагностика систем управления”

для студентов специальности 220201

 очной и заочной форм обучения

                 Одобрено

                                   редакционно-издательским советом

                                     Балаковского института техники,

                                        технологии и управления

Балаково 2010

Цель работы: Освоение регрессионного анализа  в пакете EXCEL.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Задачами регрессионного анализа являются: установление формы зависимости между переменными, оценка функций регрессии, оценка неизвестных значений зависимой переменной (прогноз).

Односторонняя зависимость случайной зависимой переменной Y от одной или нескольких независимых переменных Х называется объясняющей регрессией.Такая зависимость может возникать тогда, когда при каждом фиксированном значении X, соответствующее значение Y подвержено случайному разбросу под воздействием неконтролируемых факторов. Такая зависимость Y(X) называется регрессионной. Она может быть представлена в виде модельного уравнения регрессии:

                                                 (1)

где  - случайная переменная характеризующая отклонение функции регрессии.

Линейный регрессионный анализ - это анализ, для которого функция f(X) линейна относительно оцениваемых факторов. Уравнение линейной регрессии имеет вид:

                                                        (2)

Регрессионный анализ включает в себя две основные компоненты:

 1) оценка вектора коэффициентов с помощью метода наименьших квадратов:   ;

2) дисперсионный анализ.

Для проведения регрессионного анализа необходимо:

1)  чтобы количество экспериментальных данных было больше либо равно 30 на один вход;

2)  распределение выходной величины должно быть нормальным;

3)  в процессе эксперимента дисперсия выходной величины Y не меняется:  ;

4)  переменная X является детерменированой;

5)  выходные переменные Y₁, Y₂, … Y_n стохастически независимы между собой: ;

6)  дискретность проведения экспериментов во времени берется таким образом, чтобы последовательно взятые значения Y₁, Y₂, … Y_n были стохастически независимы, то есть  больше времени затухания автокорреляционной функции;

7)  учет динамики в регрессионном анализе производится в виде транспортного запаздывания, которое определяется как время нахождения максимума взаимно корреляционной функции X и Y.

На основании этих предпосылок получают уравнение регрессионной модели методом наименьших квадратов.

Задача дисперсионного анализа заключается в определении той части экспериментальных данных,  которая описывается регрессионной моделью (определяется коэффициент детерминации R² ), а также определение адекватности регрессионной модели.  Для этого используется основное уравнение дисперсионного анализа, которое имеет вид:

                                                                                  (3)

где - полная сумма квадратичных отклонений характеризует разброс значений выходной величины y вокруг его среднего значения ;   - остаточная сумма отклонений используется в качестве критерия МНК; - сумма квадратичных отклонений расчетных значений выходной величины   от среднего значения  .

Коэффициент детерминации R² определяется соотношением суммы обусловленной регрессией и  остаточной суммы отклонений:

                                                                         (4)

Коэффициент детерминации изменяется от 0 до 1:

При    коэффициент детерминации  а при    коэффициент детерминации . Чем ближе коэффициент детерминации к 1, тем точнее регрессионная модель.

При малых объемах выборки (N<30) используется коэффициент множественной корреляции:

                             ,                                             (5)

где N – количество выборки; m – количество входов.

Для оценки адекватности регрессионной модели используется критерий Фишера, который  определяется отношением дисперсии обусловленной регрессией и остаточной дисперсией:

                                            ,                                                         (6)

Дисперсия, обусловленная регрессией - среднее значение квадратов отклонения обусловленных регрессией, определяется выражением:    

                                                                                                         (7)

где  f_р- число степеней свободы суммы обусловленной регрессией:

                                                         ,                                                                      (8)

где m – количество входов.

Остаточная дисперсия определяется выражением:    

                                                                                                     (9)

где  f_ост- число степеней свободы остаточной суммы:

                                                        ,                                                       (10)