Исследование устойчивости одноконтурной системы автоматического регулирования с помощью логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик

Задание:

Исследовать устойчивость одноконтурной системы автоматического регулирования с помощью логарифмических амплитудных и фазовых  частотных характеристик, если передаточная функция разомкнутой системы:

       , где

Т₁= 25 с ; Т₂= 5 с ; Т₃= 0,5 с ; Т₄= 0,0025 с ; К₁= 100 ; К₂= 40000.

Определить запасы устойчивости системы по фазе и по модулю.

Решение:

Исследуем устойчивость системы управления по критерию Найквиста.

Этот критерий даёт возможность судить об устойчивости  замкнутой СУ, исследуя разомкнутую систему. Для этого определим устойчивость разомкнутой системы. Применим алгебраический критерий Рауса-Гурвица.

Найдём характеристическое уравнение передаточной функции разомкнутой системы.

f(t)-выходная величина СУ, m(t)-входная величина СУ.

Выделим характеристическое уравнение.

 

Для устойчивости разомкнутой системы, имеющей характеристическое уравнение пятого порядка, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты этого уравнения, а также определители D₂, D₃, ∆₄   были положительными:

А0>0; A1>0; A2>0; A3>0; A4>0; A5>0.

Данная разомкнутая система устойчива.

Из критерия Найквиста следует, что в случае устойчивой разомкнутой системы для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывала точку (-1; j0) и не проходила через неё.

Построим АФХ разомкнутой системы.

АФХ это годограф вектора изображающего на комплексной плоскости частотную передаточную функцию W(jw) при изменении частоты w от 0 до ¥. Для этого заменим, оператор S на (jw) и выделим мнимую jV(w) и действительную U(w) часть передаточной функции W(jw).

Приведём уравнение к виду:

График 1.1

                

График 1.2

Определим запасы устойчивости системы регулирования по амплитуде и по фазе.

При исследовании устойчивости системы по амплитудно-фазовым характеристикам, обычно пользуются такими величинами оценки запаса устойчивости системы, как запас устойчивости по амплитуде L и запас устойчивости по фазе g.

 Запас устойчивости по амплитуде показывает, на какую величину должен измениться модуль амплитудно-фазовой характеристики системы на частоте w=w_ср, для того чтобы  система оказалась на границе устойчивости.

Частота среза системы представляет собой значение частоты w, при котором выполняется равенство

A(w)=[W(jw)]=1.

Геометрически частота среза представляет собой частоту, при которой амплитудно-фазовая характеристика W(jw) пересекает окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Запас устойчивости будет определяться расстоянием от точки пересечения амплитудно-фазовой характеристики с отрицательной вещественной полуосью до точки [-1, j0].

Запасом устойчивости по фазе или избытком фазы устойчивой замкнутой системы называется увеличение запаздывания по фазе на частоте среза (т.е при значении частоты w, при котором амплитудно-фазовая характеристика системы входит внутрь круга единичного радиуса и в дальнейшем не выходит из него), при котором система доходит до границы области устойчивости.

Из графика  N1.2 найдём запас устойчивости по амплитуде L и запас устойчивости

 по фазе g.

L=(^0,67/₁) 100%=67%

g=(180^°-j(w_ср))        g=180°-190°= -10°  

Из графиков 1.1 и 1.2 видно, что кривая обходит точку с координатой    (-1, j0). Из этого следует, что данная одноконтурная  система автоматического регулирования  устойчива.

Построим график АЧХ.

Модуль АФХ или отношение амплитуд выходного и входного колебаний, функции их частоты ω называется амплитудночастотной характеристикой.

График №2.

Построим ЛАЧХ

ЛАЧХ  определяет изменение логарифма модуля частотной функции при изменении частоты ω.

График № 4

ЛАЧХ может быть представлена ломаной линией, это приближённая характеристика называется асимптотической, так как она составлена из  асимптот, к которым стремится ЛАЧХ при частоте, стремящейся к 0 и частоте, стремящейся к ∞. Найдем эти асимптоты.

 Для этого перепишем её в виде:

Определим сопрягающие частоты.

                      

                   

При частоте ω=0  L(ω)= 20 Lg(100) = 40 дБ, поэтому от частоты ω=0 ¹/_С  до ω1=0,04¹/_С асимптота представляет собой прямую параллельную оси абсцисс.

От частоты ω1 = 0,04 ¹/_С  до ω2 = 0,2 ¹/_С  асимптота пройдёт под  наклоном -20 дБ на декаду, соответствующему звену  .

От частоты ω2 = 0,2 ¹/_С   до частоты ω3 = 2 ¹/_С   к наклону асимптоты -20 дБ на декаду прибавится наклон -40 дБ на декаду, соответствующий звену . Общий наклон  асимптоты на этом участке , будет -60 дБ на декаду. При частоте ω = 1     L(ω) =-13,36 дБ  (точка А, график 5)

От частоты ω3 = 2 ¹/_С до частоты ω4 = 50 ¹/_С к наклону -60 дБ на декаду прибавится наклон +60 дБ на декаду, соответствующий звену . Общий наклон асимптоты на этом участке составит 0°.

От частоты ω4 = 50 ¹/_С до частоты ω5 = 400 ¹/_С наклон асимптоты -20 дБ на декаду, соответствующий звену .

От частоты  ω5 = 400 ¹/_С  общий наклон асимптоты составит -40 дБ на декаду.

Построим ЛФЧХ.

Логарифмическая фазовая частотная характеристика определяет изменение фазы в градусах при изменении частоты от -∞ до +∞.

Перепишем передаточную функцию в виде:

 

                          

 

                           

 График № 5а, 5б.