Інтегрування тригонометричних функцій і деяких ірраціональних

Лекція 5

План.

1.  Інтегрування тригонометричних функцій і деяких ірраціональних.

1. Інтегрування тригонометричних функцій і деяких ірраціональних

Функцію з перемінними , над якими виконуються раціональні дії (додавання, вирахування, множення, розподіл) прийнято позначати , де R – знак раціональної функції.

Якщо функція  не є парною, тобто

,

то вводиться підстановка , і тоді  .

Якщо функція R – парна, то простіше застосувати підстановку , і тоді  .

Інтеграли типу

1.       Якщо одна з функцій стоїть в непарному ступені, то з непарного ступеня виділяється перший ступінь і робиться підстановка.

Наприклад:

Також вирішуються інтеграли, якщо під знаком інтеграла в чисельнику стоїть тригонометрична функція в непарному ступені, а в знаменнику – будь-який ступінь тригонометричної функції.

Наприклад:

2.       Якщо ступеня тригонометричних функцій позитивні і парні, то використовуються формули зниження порядку:

.

Наприклад:

3.       Інтеграли типу , ,  обчислюються за допомогою відомих формул тригонометрії:

,

,

.

Наприклад: .

Інтеграли виду:

, , ,

Щоб вирішити інтеграли такого виду, варто виділити повний квадрат знаменника і ввести нову перемінну, позначивши , за допомогою якої інтеграли зводяться до табличного.

Приклади.

1.       Знайти .

Виділимо в знаменнику повний квадрат:

, тому що

.

Тоді

(позначимо )

.

2.       .

Виділимо повний квадрат у знаменнику:

і покладемо                    ,

тоді одержимо

.

Далі розкладемо отриманий інтеграл на дві складові інтегралиу відповідно двом доданкам у чисельнику і знаходимо них за формулами:

.

Перший інтеграл табличний, а в другому інтегралі в чисельнику добудуємо похідну знаменника і застосуємо табличну формулу інтегралів:

.

Повертаючи до перемінного х, остаточно одержимо

.

3.  Знайти .

Виділимо повний квадрат знаменника:

і зробимо підстановку:

Одержимо: .

У першому інтегралі в чисельнику добудуємо похідну підкореневого вираження, а другий інтеграл табличний. Остаточно одержимо: