Тобто послідовність зростає і обмежена зверху (числом ).
Тому, , заданий ряд збіжний. Коли інтеграл (1.9) збіжний, то .
Використовуючи ліву частину нерівності (1.10), маємо, що , тобто ряд
розбіжний. Решта тверджень теореми доводиться аналогічно.
Зауваження
1.Теорема 3 справджується, якщо послідовність задовольняє умови теореми, починаючи хоча б з деякого номера (тоді користуємося теоремою 1, п. 1.1.2).
Те саме стосується й нерівності в теоремі 1 цього пункту.
2.Якщо ряд збіжний, то, перейшовши до границі в (1.10), дістанемо оцінку
.
П.4. За допомогою інтегральної ознаки дослідити на збіжність узагальнений гармонічний ряд
, . (1.11)
Розв’язання. Маємо . Функція задовольняє умови теореми 3. Розглянемо інтеграл . При .
Інтеграл і заданий ряд (до речі, гармонічний) розбіжні.
Нехай . Тоді .
Якщо , то ; якщо , то .
Остаточно дістаємо: ряд (1.11) розбігається при і збігається при .
1.5. Знакозмінні ряди
Розглянемо спочатку окремий випадок знакозмінних рядів – знакопереміжні ряди.
О. Знакопереміжним називається ряд
, для всіх . (1.12)
Ознаку збіжності таких рядів містить наступна теорема.
Т. (Лейбніца). Якщо послідовність членів ряду (1.12)
1) є спадною (),
2) такою, що , то
а) ряд (1.12) збігається,
б) якщо - сума ряду (1.12), то .
,
оскільки кожна дужка додатна; запишемо у вигляді
.
Звідси , оскільки кожна дужка знову-таки додатна.
Беручи до уваги, те, що послідовність зростаюча й обмежена, дістаємо
.
Для сум з непарними номерами маємо
. Отже, ,
тобто (1.12) збігається, крім того, .
Зауваження. Теорема Лейбніца справджується, якщо послідовність членів (1.12) є спадною хоча б з деякого номера.
Наслідок. Оскільки залишок (1.12) є в свою чергу знакопереміжним рядом, то
, .
П. 5. Обчислити з точністю до 0.1 суму рядув разі його збіжності.
Розв’язання. Згідно з теоремою Лейбніца, заданий ряд збігається, .
Тоді за наслідком з теореми Лейбніца
.
Порівняйте цей ряд з гармонічним, який є розбіжним.
Перейдемо до ознак збіжності знакозмінних рядів.
Т. Із збіжності ряду випливає збіжність знакозмінного ряду .
Зауваження. Обернене твердження в загальному випадку не виконується (див. П. 1.).
О. Якщо для знакозмінного ряду ряд збігається, то знакозмінний ряд називають абсолютно збіжним.
О. Якщо знакозмінний ряд збіжний, а ряд розбіжний, то знакозмінний ряд називають умовно збіжним.
П. 6. Ряд у попередньому прикладі умовно збіжний, а ряд
абсолютно збіжний, бо .
Зазначимо, що в абсолютно збіжному ряді члени можна переставляти як завгодно, це не впливає на суму, а в умовно збіжному ряді для довільного числа можна знайти таку перестановку членів ряду, що сума його , навіть (теорема Рімана).
Це твердження свого часу поставило під сумнів застосування рядів для наближених обчислень, проте це не так, треба тільки розрізняти абсолютну й умовну збіжність рядів і враховувати властивості їх.
1.6. Числоподібіні ряди
До числоподібних рядів належать ряди з комплексними, векторними, тензорними (матричними) членами.
Ряд з комплексними членами – це ряд .
Відокремлюючи дійсну й уявну частини ряду, дістаємо два ряди
, .
Якщо кожен з них збіжний, то збіжний і ряд по . Якщо хоч один з них розбіжний, то ряд по розбіжний. Якщо збігається ряд з модулів , то ряд по називають абсолютно збіжним.
Ряд з векторними членами має вигляд ,
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.