Числові ряди. Означення ряду та його збіжності. Залишок ряду. Лінійні операції. Знакозмінні ряди. Числоподібні ряди, страница 3

Для збіжного ряду (1.2) маємо .

1.4. Достатні ознаки збіжності знакододатних рядів

Нижче розглядатимемо тільки знакододатні ряди (1.1), тобто ряди, в яких . Згідно з теоремою 2, 1.2, немає необхідності окремо розглядати випадки знаковід’ємних рядів.

Нагадаємо один результат з теорії границь: монотонно зростаюча й обмежена зверху послідовність має границю. Тепер переходимо до ознак збіжності рядів.

Ознаки порівняння (О – П)

Т.1. Нехай маємо ряди, (*) , (**)

причому . Тоді із збіжності ряду (**) випливає збіжність ряду (*), а з розбіжності ряду (*) випливає розбіжність ряду (**).

Доведемо перше твердження. Нехай

, .

За умовою теореми . Отже, ,

тобто послідовність обмежена зверху числом і є очевидно зростаючою (всі члени ряду додатні). Тоді існує границя послідовності , тобто ряд (1) – збіжний. Доведення другого твердження аналогічне.

На практиці зручніше користуватись граничною ознакою порівняння, яку виражає Т.2. і яку ми подаємо без доведення (доведення можна знайти в [2])

Т.2. Нехай маємо ряди , (*) , (**)

Якщо то ряд (*) і ряд (**) мають однакову поведінку тобто вони одночасно розбігаються, або одночасно збігаються.

П. 1. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання. Маємо , .

Останній ряд збіжний див П.1, а тому за теоремою порівняння (Т-1) досліджуваний ряд збігається.

Ознака д’Аламбера (О –Д)

Т. Якщо-загальний член ряду і (1.6)

То а) при ряд збіжний, б) при ряд розбіжний,

в) при ознака не чинна: існують ряди збіжні, для яких і розбіжні, для яких теж .

а) Застосуємо означення границі до ряду (1.6). Тоді для довільного існує такий номер , що при

. (1.7)

Візьмемо таке довільне , що . Нехай в нерівності (1.7) , тоді при . Реалізуємо останню нерівність при , і т. д.

Дістаємо , , …

Розглянемо ряди , .

Другий ряд збіжний як сума геометричної прогресії (1.3), в якій . Перший ряд збіжний згідно з ознакою порівняння, але перший ряд – це залишок вихідного ряду після члена . Беручи до уваги ознаку порівняння рядів, дійдемо висновку, що заданий ряд теж збіжний. Нескладне доведення пункту б) проведіть самостійно.

в) Для ряду (1.2) і для гармонічного ряду маємо .

Проте перший – збіжний, а другий – розбіжний.

П. 3. Дослідити на збіжність . Застосуємо ознаку д’Аламбера, маємо

, Отже, ряд збіжний.

Для дослідження на збіжність рядів у яких n знаходиться в показнику степеня найзручнішою є радикальна ознака Коші, яку ми подамо без доведення.

Радикальна ознака Коші (Р – К)

Т. Якщо – загальний член ряду і (1.8)

то а) при ряд збіжний, б) при ряд розбіжний,

в) при ознака не чинна: існують ряди збіжні, для яких і розбіжні, для яких теж .

Інтегральна ознака Коші-Маклорена (І – К)

Т. 3. Якщо члени ряду (1.1) утворюють незростаючу послідовність й існує незростаюча неперервна невід’ємна функція така, що

, ,…, ,…,

то ряд (1.1) і невластивий інтеграл (1.9)

збігаються або розбігаються одночасно.

Для доведення цієї ознаки замінимо кусково-сталою, як показано на рис. 2.1.

рис. 2. 1.

Дістанемо ступінчасті фігури, з яких площа однієї не менша (рис. 2.1, а), а другої – не більша, ніж площі відповідних криволінійних трапецій. Для (рис. 2.1,а) і для (рис. 2.1, б) маємо ,