Числовые ряды. Знакопеременные ряды. Функциональные ряды. Приложение рядов, страница 7

                                                      (13.6)

Пример 4. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Вычислить радиус сходимости по формулам (13.15) или (13.16) не представляется возможным, так как в этом ряде коэффициенты  равны нулю. Поэтому непосредственно применим признак Даламбера, полагая .

Следовательно, ряд сходится при  или на интервале .

Исследуем сходимость на концах интервала сходимости: при  ряд принимает вид , а при  вид т.е оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимый признак сходимости. Итак, область сходимости ряда .

Свойства степенных рядов. В курсах математического анализа доказывается, что степенной ряд в своем интервале сходимости по отношению к операциям дифференцирования и интегрирования ведет себя также, как многочлен с конечным числом членов.

Теорема 1. Если степенной ряд

                        (13.17)

имеет интервал сходимости , то ряд полученный дифференцированием ряда (13.17)

                          (13.18)

будет иметь тот же интервал сходимости , причем его сумма .

Теорема 2. Степенной ряд (13.17) можно почленно интегрировать на любом отрезке , целиком принадлежащем интервалу сходимости , т.е.

.          (13.19)

У п р а ж н е н и я.

1.  Исследовать сходимость ряда с помощью признака Лейбница:

a.  ;   b. ;                   c.

2.  Вычислить с точностью до  сумму ряда:

a.  ;               b. ;                     c.

3.  Установить какие из данных рядов сходятся абсолютно, какие условно, какие расходятся:

a.  ;             b. ;           c. ;

d. ;              e. ; f..

4.  Найти область сходимости степенных рядов:

a.  ;          b. ;                  c. ;

d. ;     e. ;        f..

Лекция 14. Функциональные ряды. Приложение рядов.

14.1. Ряды Тейлора и Макларена. Разложение основных элементарных функций в ряд

Предположим, что функция f(x), определенная и n раз дифференцируемая в ок­рестности точки , может быть представлена в виде суммы степенного ряда

,                              (14.1)

сходящегося в интервале (). В этом случае говорят, что функция f(x) раскладывается в степенной ряд в окрестности точки  по степеням . Най­дем коэффициенты разложения  этого ряда. Для этого найдем производные функции f(x), дифференцируя степенной ряд (14.1) n раз

Полагая в записанных выше равенствах , находим

.

Из этих равенств получаем

.

Подставляя значения коэффициентов  в (14.1) получим ряд

                     (14.2)

который называют рядом Тейлора для функции f(x).

При  получаем ряд Макларена

.                              (14.3)

Обратная задача: пусть дана бесконечно дифференцируемая функция f(x). Составим для нее формально ряд Тейлора в окрестности точки :

.

Поставим вопрос: будет ли сумма данного ряда Тейлора S(x) совпадать с функцией f(x), для которой он построен. Оказывается не всегда. На этот вопрос дает ответ теорема:

Теорема. Для того чтобы бесконечно дифференцируемая в точке  функция f(x) явля­лась суммой составленного ля нее ряда Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член ряда

(14.4)

стремился к нулю при .

Доказательство (необходимость): если функция f(x) есть сумма ряда Тей­лора, то .

Пусть f(x) есть сумма ряда Тейлора, т.е. . Тогда из (14.4) следует    ч.т.п. .

(Достаточность): если , то функция f(x) является суммой ряда Тей­лора.

Пусть . Тогда из (14.4) следует, что

.

А это и значит, что f(x) есть сумма ряда, ч.т.д.

Вывод: эта теорема показывает, что для исследования вопроса о разложимости  функции в ряд Тейлора нужно исследовать поведение его остаточного члена при .

Можно доказать, что если функция f(x) разложима в ряд Тейлора в окре­стности т., то это разложение единственное.

Если остаточный член  представить в форме Лагранжа

,                                   (14.5)