Числовые ряды. Знакопеременные ряды. Функциональные ряды. Приложение рядов, страница 3

2)  гармонический ряд  — расходится;

3)  обобщенный гармонический ряд

                        (12.12)

сходится при , расходится при 1 (доказательство см. в пр. 10).

2. Второй признак сравнения.

Теорема. Пусть даны два знакопостоянных ряда  и  и существует конечный предел отношения их общих членов, тогда рассматриваемые ряды одновременно сходятся или расходятся.

Доказательство. Так как , то по определению предела числовой последовательности для любого  существует такой номер , начиная с которого для всех  выполняется неравенство , или , или , или .

Если ряд  сходится, то сходится ряд и в силу первого признака сравнения будет сходится ряд . Аналогично, если сходится ряд , то сходится ряд и сходится ряд . Таким образом, из сходимости одного ряда следует сходимость другого. Утверждение о расходимости рядов доказывается аналогично.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда .

Решение. В качестве ряда для сравнения выбираем сходящийся ряд  (выбор такого ряда для сравнения определяется тем, что при больших многочлен эквивалентен старшему члену и ). Так как , то исследуемый ряд, как и сравниваемый ряд, сходится.

3. Признак Даламбера.

Теорема. Пусть для знакоположительного ряда существует . Тогда, если, то ряд сходится; если , то ряд расходится;

Доказательство. Из определения предела последовательности следует, что для любого  существует такой номер , что для всех  выполняется неравенство  или .

1)  Пусть . Выбираем настолько малым, чтобы число , т.е.или .Последнее неравенство будет выполнятся для всех , т.е. для , , …, т.е.

,

,

,

………………………………………..

.

Из этих оценок следует, что члены ряда  меньше соответствующих членов геометрического ряда , сходящегося при . Тогда на основании первого признака сравнения ряд  тоже сходится, а значит сходится и рассматриваемый ряд , отличающийся от предыдущего на первые  членов.

2) Пусть . Выберем  настолько малым, чтобы . Тогда из условия  следует, что , а это значит, что члены ряда возрастают, начиная с номера , поэтому , т.е. не выполнено необходимое условие сходимости, и ряд расходится.

Пример 8. Исследовать сходимость рядов:

а) ,                    б) .

Решение. а) Так как  и , , то по признаку Даламбера  ряд сходится () .

б) Так как  и , то по признаку Даламбера  ряд расходится.

Замечание 1. Если , то ряд расходится.

Замечание 2. Если , то признак Даламбера не дает ответа на вопрос сходимости ряда и рекомендуется воспользоваться другим признаком сходимости.

Радикальный признак Коши.

Теорема. Если для знакоположительного ряда  , то при  ряд сходится, при  расходится.

Доказательство. Из определения предела последовательности следует, что для любого  существует такой номер , что для всех  выполняется неравенство , или .

1)  Пусть . Выберем  достаточно малым, чтобы . Тогда для всех , т.е. длябудет справедливо неравенство

По первой теореме сравнения, из сходимости геометрического ряда при , следует  сходимость исследуемого ряда

2)  Пусть . Выберем  достаточно малым, чтобы . Используем неравенство  или , которое справедливо при всех . Тогда имеем оценку   общих членов двух рядов  и . Так как геометрический ряд  при  расходящийся, то по первой теореме сравнения исследуемый ряд тоже расходится.

Пример 9. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Так как , то , то по радикальному признаку Коши ряд сходится.

Замечание: При  признак Коши не дает ответа на вопрос сходимости расходимости ряда и необходимо применять другой признак сходимости.

Интегральный признак Коши.

Теорема. Пусть члены знакоположительного ряда  являются значениями при  некоторой положительной непрерывной, монотонно убывающей на  функции , причем

.

Тогда несобственный интеграл  и исследуемый ряд  одновременно сходятся или расходятся (ведут себя одинаково).