Теорія стійкості, основні поняття. Дослідження стійкості лінійних систем: Практичне заняття № 12

Практичне заняття №12

Тема заняття: «Теорія стійкості, основні поняття. Дослідження стійкості лінійних систем»

I. Перевірка виконаного домашнього завдання.

II. Теоретичне опитування:

1. Навіщо при побудові математичної моделі потрібна задача дослідження стійкості?

2. Визначення стійкості розв'язання диференціального рівняння в класичній постановці Ляпунова.

3. Визначення асимптотичної стійкості.

4. Фазова площина, фазова траєкторія й трактування стійкості незбуреного руху.

5. Автономна й неавтономна система, що встановилася й несталий рух.

6. Теорія про стійкість точок спокою ОЛС.

7. Стійкість лінійних автономних систем.

8. Стійкість систем другого порядку. Класифікація точок спокою.

III. Розв'язання задач:

Виходячи з визначення стійкості по Ляпунову з'ясувати, чи стійкі розв'язання даних рівнянь із зазначеними початковими умовами:

1. , ç .

Розв'язання: Інтегруючи, знаходимо загальне розв'язання . Використовуючи початкові умови, одержуємо . Як інше розв'язання візьмемо . Тоді для кожного  з початкової нерівності  в нашому випадку  повинна випливати оцінка  вже для кожного . Ця оцінка, мабуть, має місце, якщо тільки . Значить розв'язання рівняння стійко. Більш того, тому що , той досліджуваний рух буде ще й асимптотично стійким.

2. , ç .

Розв'язання: Інтегруючи, одержуємо . Тоді  , що з початкової нерівності

маємо  для . Але це неможливо, тому що  при . Тому досліджуваний рух нестійкий.

3. , . 4. , . 5. , . 6. , . 7. , .

            Дослідити на стійкість наступні лінійні системи:

1. , .

Розв'язання:Складемо фундаментальну матрицю системи

.

Ця матриця обмежена, тому що

.

Тоді досліджувана система стійка.

2. , .

Розв'язання: Складемо фундаментальну матрицю :

.

Тоді . Тоді досліджувана система асимптотично стійка.

3. , .

Розв'язання: Складемо фундаментальну матрицю :

,

тоді

.

Тоді досліджувана система нестійка.

4.  . 5.  .

З'ясувати питання про стійкість точки спокою лінійних автономних систем:

1. , .

Розв'язання: Складаємо характеристичне рівняння

.

Тому що обидва характеристичних числа від’ємні, то точка спокою системи  асимптотично стійка.

2.  .

Розв'язання: Записуємо характеристичне рівняння

,

звідки одержуємо , . Тому що ці числа протилежних знаків, то точка спокою нестійка.

3.  4.  5.

IV. Домашнє завдання:

1. Підготувати теоретичний матеріал по темі «Критерії стійкості: Гурвіца, Л’єнара-Шиппара, Михайлова».

2. Розв’язати вдома задачі, що залишилися.