Теорія поля. Дивергенція векторного поля. Циркуляція і ротор векторного поля. Оператори Гамільтона і Лапласа та дії з ними, страница 5

а)==.

Вираз називається оператором Лапласа від функції , позначається . Дивергенцію від градієнта можна виразити двічі застосовуючи оператор Гамільтона

. (12.14)

Як ми бачимо це зв’язок між операторами Гамільтона і Лапласа.

б) (12.15)

Співвідношення це перевіряється зовсім просто, треба за визначенням знайти ротор від градієнта, тобто від поля . Тут і тому:

=. Кожна дужка у виразі для ротора представляє в цьому випадку різницю других змішаних похідні функції , що відрізняються лише порядком диференціювання, а тому всі координати вектора рівні нулю.Це співвідношення легко запам'ятовується, якщо записати його за допомогою набла-вектора: ,

тому,що векторний добуток однакових «векторів» дорівнює нулю.

в) . (12.15)

Утворимо дивергенцію від .

що в силу рівності других змішаних похідних дорівнює нулю. Якщо записати доводжуване співвідношення за допомогою набла-вектора:

, то одержимо змішаний добуток трьох «векторів», з яких два вектори однакові. Але такий добуток дорівнює нулю.

Інші дві векторні операції другого порядку: і зустрічаються рідше, їх вираження через оператори Гамільтона і Лапласа дуже громіздке. При виконанні цих операцій в кожному конкретному випадку треба діяти за означенням. Ми не будемо записувати їхнього вираження через проекції вектора , а тільки вкажемо на зв'язок між ними:

=. (12.16)

Для доведення (12.16) розпишемо внутрішні оператори, вважаючи, що .

=–

–. Так як (12.16) векторна рівність, то треба довести рівність відповідних координат (проекцій на координатні вісі) зліва і справа. Обчислимо координати (проекції) на вісь Ох, тобто =.