Проекція цього вектора на будь-який напрямок є
границя відношення циркуляції вектора поля по, контуру, що лежить у площині,
яка проходить через точку Р і для якої вектор
є
нормаллю, до площі, обмеженої цим контуром. Ця границя буде найбільшою у тому
випадку, коли напрямок нормалі збігається з напрямком
.
За допомогою визначення ротора теорему Стокса можна подати у векторній формі:
(12.6)
Потік ротора поля через поверхню S дорівнює циркуляції вектора по границі цієї поверхні.
Звідси випливає, що
якщо дві поверхні мають одну і ту ж границю L, то потоки ротора через ці поверхні рівні між
собою.
Наведемо дві властивості ротора поля.
1. Перша властивість виражає лінійність ротора і її доведення очевидне.
(12.7)
2. Доведемо ще, що якщо – скалярна функція, а
– векторна, то
(12.8)
Щоб довести (12.8) розпишемо згідно з (12.5).
=
+
+
=
. Перетворимо окремо кожну з координат.
. Аналогічно
,
.
Підставимо знайдені координати в початковий
вираз, перегрупуємо і з трьох доданків винесемо за дужки спільний множник . В дужці одержимо
.
Три дужки, які залишились - це розкритий визначник
,
який дорівнює
і властивість доведена.
П.6. Обчислити ротор векторного поля:
Розв’язок: Використаємо формулу (12.5)
Відповідь: .
П.7. Знайти ротор вектора напруженості магнітного
поля нескінченно довгого провідника по якому тече струм силою І.
Розв. Введемо
систему координат, спрямувавши вісь провідника вздовж вісі Оz. Як відомо з фізики, вектор напруженості
магнітного поля, створеного струмом, дорівнює .
Завдяки обраній системі координат ми можемо, знаючи величину струму І, знайти
. Так як напрямним одиничним вектором для
напрямку провідника є орт
(вісь провідника
співпадає з віссю Оz), то
.
, де
.
Знаходимо ротор вектора напруженості, застосовуючи (12.5).
=
=0.
Звідси бачимо, що=0 всюди крім вісі Оz, де він не визначений (при х=у=0 знаменник
обертається в нуль). А це значить, що магнітне поле вектора
всюди є безвихрове крім точок , які знаходяться
на вісі провідника струму.
12.3. Оператори Гамільтона і Лапласа та дії з ними
Розглянуті вище основні поняття векторного
аналізу: г р а д і є н т, д и в е р г е н ц і я і р о т о р – зручно
представляти за допомогою символічного в е к т о р а («набла-вектор»).
(12.9)
Розглянемо правила застосування цього вектора, який часто називають оператором Гамільтона:
1. Простий добуток
цього оператора на скалярну функцію дає
градієнт цієї функції
. (12.10)
2. Скалярний
добуток набла-вектора на векторну функцію
дає
дивергенцію цієї функції:
(12.11)
3. Векторний
добуток набла-вектора на векторну
функцію
дає ротор цієї функції:
(12.13)
Таким чином, дії з набла-вектором (оператором
Гамільтона) здійснюються за звичайними правилами дій векторної алгебри, а потім
множення наприклад, на скалярну функцію
, заміняється похідною цієї функції по х.
Операції знаходження градієнта, дивергенції і
ротора будуть, векторними диференціальними операціями першого порядку. У них
беруть участь тільки перші похідні від скалярних функцій або тільки один раз
застосовують оператор .
Перейдемо тепер до векторних диференціальних операцій другого порядку.
Якщо у нас є скалярне поле і ми знайшли градієнт цього поля
, то поле градієнта є векторним полем і ми можемо
шукати його дивергенцію і ротор:
і
.
Якщо у нас є
векторне поле то ми можемо знайти його
дивергенцію і ротор тобто векторне поле породжує два поля: скалярне поле дивергенції
і векторне поле ротора
. Отже, ми можемо знаходити градієнт
першого поля
: і дивергенцію та ротор другого
поля
і
.
Усього ми маємо п'ять векторних диференціальних операцій другого порядку.
Розглянемо їх.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.