Математика \ Высшая математика

Теорія поля. Властивості векторних полів. Електромагнітне поле. Нестаціонарні поля. Системи Максвела для електромагнітного поля, страница 5

Хто цікавиться детальним обгрунтуванням і доведенням цих формул, може звернутися до підручника: Смирнов В. И. Курс высшей математики. Том второй. “Наука”. М.1974.с. 377.

П.3. Знайти градієнт скалярного поля .

Розв. З вигляду функції робимо висновок, що поле задане в циліндричній системі координат, а тому для знаходження градієнта застосовуємо (13.5). Обчислимо координати градієнта.. Підставимо це в (13.5).

. Це і є відповідь.

П.4. Обчислити дивергенцію векторного поля .

Розв. З вигляду функції робимо висновок, що поле задане в сферичній системі координат, а тому для знаходження дивергенції застосовуємо (13.9). В нашому випадку . Підставимо це в (13.9) і обчислимо похідні.

=. Це і є відповідь.

Нестаціонарні поля. Система Максвела для електромагнітного поля

До сих пір ми рознлядали стаціонарні поля, тобто поля які залежали тільки від координат точки простору і не змінювалися з плином часу. Але ж ми живемо в реальному світі, який існує в просторі і в часі. Якщо з часом змінюються характеристики тих об’єктів, які утворюють те чи інше поле, то з часом змінюється і саме поле. Одні зміни проходять занадто повільно, наприклад гравітаційне та магнітне поле Землі, інші – швидше, наприклад поле розподілу температури в Землі, ще швидше змінюється поле розподілу температур чи тиску в Земній атмосфері. В минулому столітті людство скористалось зміною поля в часі для передачі полем інформації. Ціленаправлена зміна в часі і просторі електричного і магнітного поля зробила революцію в житті людства. Закони класичної теорії електромагнетизму для однорідного та ізотропного середовища сформулював Максвел у вигляді системи диференціальних рівнянь

Тут – вектори напруженості електричного і магнітного полів;

– коефіцієнти електричної і магнітної проникливості середовища;

с – швидкість світла у вакуумі.

Звичайно замість в цій системі замість векторного і скалярного добутку згідно з викладеним в лекції 11 ми можемо написати , але спробуємо користуючись операторами Набла і Лапласа, одержати диференціальне рівняння для (з виключеним ) і для (з виключеним ).

Продиференціювавши (13.11) по t одержимо . Із (13.12) знаходимоі підставивши в вище отриманий вираз, одержимо:

, або після очевидних перетворень.

Права частина , для якої в лекції 12 ми зробили таке перетворення = ( див.12.16). Але ж з (13.13), тому .

Це векторне диференціальне рівняння рівносильне трьом скалярним

, (13.15)

Це диференціальні рівняння в частинних похідних другого порядку. Вони носять назву хвильові рівняння. Розв’язком таких рівнянь займається одна з надзвичайно серьозних математичних дисциплін – математична фізика.

Так, як система (13.11) – (13.14) симетрична відносно векторів , то для знаходження вектора напруженості магнітного поля, аналогічними перетвореннями одержимо три скалярнох рівняння ідентичних рівнянням (13.15), лише замість Е всюди стоятиме Н.