Математика \ Высшая математика

Теорія поля. Властивості векторних полів. Електромагнітне поле. Нестаціонарні поля. Системи Максвела для електромагнітного поля, страница 4

Нехай тепер поле створене системою електричних зарядів . Позначимо через напруженість поля, створюваного зарядом , а через – результуючу напруженість. Тоді .

Проекція вектора на напрямок нормалі до будь-якої поверхні дорівнює

, а тому потік через поверхню буде, де – сума зарядів, які лежать усередині розглянутої поверхні.

Ця формула відіграє важливу роль у вивченні електричних полів і називається вона електростатичною теоремою Гауса.

II. М а г н і т н е п о л е п р я м о л і н і й н о г о с т р у м у.

В лекції 11 (приклад 6) ми знайшли рівняння векторних ліній нескінченно довгого прямолінійного провідника з струмом силою І. В лекції 12, з точністю до постійного коефіцієнта , який залежить від одиниць вимірювання, ми обчислили проекції вектора напруженості магнітного поля на вісі координат .

Обчислимо дивергенцію цього поля . При підстановці одержимо . В лекції 12 ми з’ясували, що ротор цього поля також дорівнює 0, тобто воно всюди, за винятком точок на вісі провідника, є безвихрове.

Отже, циркуляція поля по будь-якому контурі, що не оточує вісь Оz (вісь провідника), дорівнює нулю. Якщо ж контур оточує вісь Оz, то такого висновку зробити не можна, тому, що будь-яка поверхня, натягнута на такий контур, перетинає вісь Оz, а в точках цієї вісі поле не визначене.

Обчислимо циркуляцію по колу радіуса R, що лежить у площині Оху, з центром на початку координат:

Як бачимо з результату, величина циркуляції не залежить від радіуса кола, більше того можно довести, що вона залишається однією і тією ж для будь-якого контуру, який обходить вісь Оz.

13.3. Основні операції векторного аналізу

в циліндричній та сферичній системах координат

Оскільки інженерна механіка пов’язана з механізмами, в яких переважають круглі тіла і такі, що обертаються (циліндри, поршні, вали, підшипники, шківи, шестерні і т. п. ), то при наукових дослідженнях зручніше, а інколи просто необхідно, користуватися криволінійними просторовими системами координат. Найпоширенішими є дві розглянуті нами системи при вивченні потрійних інтегралів: циліндрична і сферична. І хоч ці системи координат, як і звична прямокутна, також ортогональні (в кожній точці простору три її координати перпендикулярні між собою), але в криволінійних координат є докорінна відмінність від прямокутної, а саме: в декартовій системі вектори базису постійні для всіх точок простору і дорівнюють відповідно ; в криволінійних системах вони змінюють свій напрямок при переході від однієї точки до іншої. Ми в лекції 5 бачили, що при переході з прямокутної системи в циліндричну чи сферичну елемент об’єму . У кожному випадку з’являються множники, які назвали якобіанами переходу.

Аналогічна картина буде і при переході від прямокутної системи координат до криволінійних систем координат для операцій векторного аналізу. Не вдаючись в подробиці обчислення, так званих, коефіцієнтів Ламе, приведемо вирази для градієнта, дивергенції і ротора в циліндричній і сферичній системах координат. Нижче: – орти базису циліндричної системи координат; – орти сферичної системи координат, причому тут кут – це кут між віссю Oz і r (а ми в лекції 5 брали цей кут між площиною хОу і r). Функції задані у відповідній системі координат.