Потрійні інтеграли. Заміна змінних у потрійному інтегралі, страница 5

Таким чином: .

Перетворимо підінтегральний вираз =

=. Інтеграл буде мати вид

Для компактності записів внутрішній інтеграл будемо позначати , середній , зовнішній .

Обчислимо.

+. Поглядаючи на одержане значення і навіть зважаючи на те, що інтегруючи (середній інтеграл по довжині періоду) суму, а також добуток одержимо в обох випадках 0, все одно зовнішній інтеграл виходить аж занадто громіздким. Тому, незважаючи на те, що замість одного інтнграла прийдеться обчислювати два, все-таки перейдемо до сферичної системи координат.

Перетворимо границі

Таким чином границі для r коли змінюється від 0 до кола BCD, на якому , або будуть.

А якщо буде змінюватись від кола BCD до вісі OZ, то границі для r будуть. Перетворимо підінтегральний вираз = == =. Інтеграл буде розбитим на два інтеграли (по двох областях). Область обмежена конусом і параболоїдом , Область обмежена конусом і сферою. . Обчислимо .

Знайдемо первісну від підінтегральної функції

При ця первісна дорівнює:

=. При ця первісна дорівнює.

Так як визначений інтеграл є приріст первісної, то –, а зовнішній інтеграл

–, зважаючи на те, що інтегруючи по довжині періоду суму , а також добуток одержимо в обох випадках 0, матимемо:.

Обчислимо .

Знайдемо первісну від підінтегральної функції.

. При ця первісна дорівнює:

При ця первісна дорівнює:

. Таким чином

. Зважаючи на те, що інтегруючи по довжині періоду суму , а також добуток одержуватимемо в обох випадках 0, матимемо:. Загальна відповідь буде

5.4. Узагальнення поняття інтеграла

Розглядаючи задачі, які приводять до поняття того чи іншого інтеграла (визначеного, подвійного, потрійного), можна побачити, що деякі з них повторюються, але на різних фігурах, наприклад, задачі знаходження маси, електричного заряду. При цьому для однієї і тієї ж величини діставали різні інтеграли. Якщо якась величина (маса, заряд) визначена на відрізку, то маємо визначений інтеграл, якщо на пластинці, — то подвійний, на просторовому тілі, — потрійний. Однак та сама маса й електричний заряд можуть бути заданими і на інших фігурах. Кожній з геометричних фігур поставимо у відповідність її числову адитивну характеристику, яку називають її мірою. Для відрізка це довжина, для пластинки — площа, для тіла — об'єм і т.д. Нехай на деякій скінченній геометричній фігурі А задано певну функцію (функцію точки, наприклад, густину речовини).

Розіб'ємо фігуру на п частин довільним способом. — це і множина точок і-ї частини А, і її міра. Вважатимемо, що .

Суму називатимемо інтеґральною сумою для по А. Інтегралом від по області А називають границю

, (5.17)

де — диференціал відповідної міри, — діаметр . Властивості інтеґрала (5.17) аналогічні властивостям одно- двох- і трьохвимірного інтеграла.

Запитання для самоперевірки.

Що ми називаємо потрійним інтегралом? Який механічний зміст він має ?
Чим ми керуємось вибираючи порядок інтегрування потрійного інтегралу?
Для яких областей границі інтегрування зовнішнього, середнього і внутрішнього інтегралів є постійними числами?
Чи можуть бути границі інтегрування середнього інтеграла функціями від двох змінних?
Запишіть формулу переходу в потрійному інтегралі від прямокутної системи координат до циліндричної. Чому для переолду в цю систему координат дорівнює якобіан переходу?
Запишіть формулу переходу в потрійному інтегралі від прямокутної системи координат до сферичної. Чому для переходу в цю систему координат дорівнює якобіан переходу?
Наведіть приклад із застосування в навігації і радіолокації циліндричної та сферичної систем координат.
За допомогою теореми про середнє значення оцініть інтеграл

куля .