Потрійні інтеграли. Заміна змінних у потрійному інтегралі, страница 3

Остання формула виражає фізичне тлумачення потрійного інтеграла. Геометричного тлумачення цей тип інтеґрала не має, оскільки немає гео­метричного тлумачення чотиривимірної системи координат. Теорема існування такого інтеґрала крім неперервності в області підінтеґральної функції також вимагає скінченності області інтеґрування. Область ми будемо називати правильною, якщо перетинаюча її пряма паралельна осі ОХ (відповідно ОУ та OZ) перетинає її поверхню лише в двох точках – в одній точці входить в область і в одній виходить з неї. Обчислення потрійного інтеґрала,  у  випадку правильності відповідних областей (таких, як на рис. 5.1) зводиться до обчислення трьох одновимірних інтегралів. Правильна трьохвимірна область V (рис.5.1) може бути спроектована на площину ХОУ в правильну двох вимірну область D. Ця двохвимірна область може бути спроектована на вісь ОХ у виді відрізка з початком в точці  і кінцем в точці . Якщо рівняння кривих, які обмежують область D,  – нижня крива та   – верхня крива, то маємо формулу для обчислення потрійного інтегралу

                                                       (5.3)

Звичайно, ця формула симетрична, тобто зовнішній інтеграл можна взяти по у середній по z, внутрішній по х. Інтегрувати можна в любому порядку. Цей порядок ми обираємо самі в залежності від виду області та підінтегральної функції.

Властивості потрійного інтеграла аналогічні властивостям подвійного.

1) )                                  (5.4)

2)                                                                                  (5.5)

3)              (5.6)   

4)                                    (5.7)

5)  де  V – об’єм ,              (5.8)

6) Теорема про середнє значення: де   (5.9)

П.1.Оцінити  інтеграл

Розв’язок. Оцінювати будемо за (5.8). Обєм куба . Найменше значення підінтегральної функції в цьому кубові буде в точці (1,1,1) . Найбільше значення підінтегральної функції в цьому кубові буде в точці (3,3,3) , А тому

.

П.2. Розставити границі інтегруваня  в  потрійному інегралі    де    V-область обмежена площинами x+2y+3z=6 ;x=0;  y=0; z=0;

Розв’язок : Зобразимо  область на рисунку , перетворивши рівняння площини  у рівняння у відрізках:. Рівняння прямої АВ на площині  хOу має вид   Зовнішній інтеграл беремо вздовж осі ОХ. Очевидно, що 0; середній інтеграл беремо за змінною у. Щоб визначити межі  в яких змінюється у при 0, беремо на відрізку   довільну точку N і проводимо через неї пряму паралельну  осі у. Довжина відрізка NM і буде довжиною по якій ми інтегруємо за  у-ком. Нижній кінець (точна N) цього відрізка на площині має координати ; а верхній – (точка М) . Таким чином межі середнього інтеграла будуть .  Щоб визначити межі інтегрування за змінною z, на відрізку NM візьмемо довільну точку Q. Проведемо через неї пряму паралельну осі z. Ця пряма перетне нашу область V в двох точках Q i K. В точці Q вона ввійде в область, а в точці K вийде з неї. Відрізок QK і буде відрізком  інтегрування за змінною z. Очевидно в просторі координати точки Q будуть: . Координати точки K на площині будуть:  просторову координату z треба знаходити з умови, що точка К лежить на площині  і, якщо дві координати х і у уже визначені, то з рівняння площини  . Таким чином .

Розставляючи границі інтегрування мислимо слідуючим образом.  Якщо х буде змінюватись від 0 до 6 , а точка Q , буде “бігати” вздовж відрізка MN від N до M, то тоді Q побуває в кожній точці  області обмеженої трикутником  АОВ, а точна К побуває в кожній точці    області, обмеженої трикутником АВС, а тому: .

П.3 Обчислити  , де V область обмежена поверхнями

Область V є трикутна піраміда з основою АВО, у якої бічна грань АОС вигнута поверхня z=xy. Обчислюючи цей інтеграл, всю фігуру зображувати не обов’язково. Границі інтегрування по z задані в умові в явному виді . Границі інтегрування по у теж задані в умові . Лише для змінної х маємо одне значення, а тому побудуємо на площині хОу область  інтегрування. Нею є трикутник ОАВ, рівняння сторін якого будуть: ОА:  у=0;  ОВ:  у=х;  АВ: х=2. Звідси добре видно, що .

.  Відповідь 4

5.3. Заміна змінних у потрійному інтегралі.

Криволінійні (циліндричні й сферичні) координати