Методика построения оптимального управления динамическим объектом с помощью классического вариационного исчисления: Практическое занятие № 6

Практическое занятие  6.

Тема:

Цель занятия : освоение методики построения оптимального управления динамическим объектом с помощью классического вариационного исчисления.

Задача построения оптимального управления может быть сформулирована как вариационная задача. При этом кроме уравнений объекта управления должны быть заданы краевые условия и выбран критерий оптимальности. Кроме того, могут быть заданы ограничения на управление и фазовые координаты.

Пример 6.1.

Рассмотрим задачу об оптимальном управлении электроприводом, динамика которого описывается системой уравнений

                                         (6.1)

где  – угол поворота вала электродвигателя и  – скорость поворота.

Необходимо определить оптимальный процесс перевода системы (6.1) из одной точки фазового пространства

,  ,                                  (6.2)

в другую заданную точку фазового пространства

,                                    (6.3)

за фиксированный отрезок времени , затрачивая при этом минимум энергии управляющего сигнала, т.е. функционалом минимизации, является интеграл

.

Для построения конкретных временных диаграмм предположим, что , .

Решение.

Для определения оптимального управления  и оптимальной фазовой траектории  воспользуемся уравнениями Эйлера.

Составим функцию Лагранжа

.

Получаем задачу безусловной оптимизации с теми же граничными условиями (6.2) и (6.3) в виде функционала

.                                (6.4)

Применяем уравнения Эйлера

к функционалу (6.4). Вычисляем соответствующие производные уравнений Эйлера:

,                           ,            ,

,                 ,          ,

,        ,                  ,

,       .

Подставляя найденные величины в уравнения Эйлера, получим систему уравнений

                (6.5)

Решая систему (6.5), последовательно находим:

,   ,

,                                                       (6.6)

,                                         (6.7)

.                               (6.8)

Для определения постоянных интегрирования , ,  и  в (6.6) – (6.8) используем граничные условия (6.2) и (6.3) при , . После несложных вычислений находим:

,  ,  ,  .

Следовательно, для заданных граничных условий можно окончательно записать уравнения оптимальных процессов ,  и

,     ,          (6.9)

.

Графики  и , соответствующие формулам (6.9), приведены на рис. 6.1.

Как видно из рис. 6.1, управляющее воздействие  (ток якоря двигателя) должно меняться по линейному закону, а скорость поворота вала двигателя  – по параболе, где  – заданный угол поворота вала двигателя.

 

Пример 6.2.

На основании примера 6.1 при той же постановке задачу оптимального управления рассмотрим влияние ограничения по скорости в следующем виде

,                                      (5.43)

на решение задачи.

Таким образом, можем исследовать решение задачи в примере 5.1 с учетом условия (6.10). Из (6.9) следует, что решение относительно переменной  должно удовлетворять условию

.                           (6.11)

Если условие (6.11) не выполняется, то ,  и  не являются решениями поставленной задачи. Иначе говоря, если имеет место условие  , то оптимальная траектория  состоит из трех частей (рис. 6.2): одна часть  лежит вне запрещенной области  и поэтому имеет форму квадратной параболы (6.7)

;

вторая часть  также принадлежит области допустимых значений для  и поэтому будет иметь форму квадратной параболы, но с другими коэффициентами:

;

третья часть  (рис. 6.2) совпадает с границей области , поэтому

и соединяет первые две части.

 

Обозначим через  и  те моменты времени , когда сопрягаются указанные части оптимальной траектории. Эти моменты пока еще неизвестны и подлежат определению.

В соответствии с (6.6) - (6.8) оптимальный процесс имеет вид:

1)  на отрезке времени :

,

,                                   (6.12)

;

2)  на отрезке времени :

,

,                                    (6.13)

;

3)  на отрезке времени :

,    ,    .                   (6.14)

Система соотношений (6.12) – (6.14) показывает, что оптимальный процесс управления определяется девятью произвольными постоянными интегрирования и двумя параметрами ,  моментов сопряжения. Они находятся из граничных условий (6.2), (6.3)

,  ;  ,  ;

и условий сопряжения участков траектории

,   ;

,   ;

,    ;

,    ;

 

На рис. 5.4, 5.5 изображены графики функций  и .

Список рекомендуемой литературы.

1.  Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М., «Машиностроение», 1968.

2.  Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. –М.: Наука, 1969.

3.  Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. –М.: Наука, 1968.

4.  Брайсон А., Хо Ю-ши Прикладная теория оптимального управления. Оптимизация, оценка и управление. М.: Мир, 1972. –544 с.

5.  Нефедов Ю.М. Теория управления. Учеб. пос. –Луганск: Изд-во ВНУ им. В.Даля, 2003. – 228 с.

6.  Петров Ю.П. Вариационные методы теории оптимального управления. – Л.: Энергия, 1977. – 280 с.