Метод варіації постійних. Рішення лінійних неоднорідних рівнянь. Лінійні неоднорідні рівняння з постійними коефіцієнтами зі спеціальною правою частиною

Лекція 6

План:

1.  Метод варіації постійних. Рішення лінійних неоднорідних рівнянь.

2.   Лінійні неоднорідні рівняння з постійними коефіцієнтами зі спеціальною правою частиною.

1. Метод варіації постійних. Рішення лінійних неоднорідних рівнянь

Розглянемо тепер лінійне неоднорідне рівняння

.                            (1)               

1.       Знання будь-якого приватного рішення рівняння  дозволяє звести задачу про інтегрування цього рівняння до задачі про інтегрування відповідного (тобто з відкинутою правою частиною) однорідного рівняння .

Отже, загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння  є сума будь-якого його приватного рішення та загального рішення  відповідного однорідного рівняння.

2.       Якщо права частина  дорівнює лінійній комбінації, наприклад, двох функцій, тобто  , й відомі будь-які приватні рішення Y₁ та Y₂  рівняння  з правими частинами та , тоді функція

служить приватним рішенням рівняння  з правою частиною .

3.       Якщо відомо загальне рішення однорідного рівняння , то загальне рішення рівняння  можна знайти за допомогою квадратур.

Це робиться за допомогою знайденого Лагранжем методу варіації постійних за наступною схемою.

Як ми знаємо, загальне рішення рівняння  має вигляд . Ми шукаємо рішення рівняння  у вигляді

,                        (2)

де  – деякі невідомі поки що функції. Так як їх дві, а рівняння  одне, то для знаходження цих функцій мі накладемо на них ще одне додаткове співвідношення (4).

Диференціюючи рівність (2), отримаємо

.                       (3)

Вимагаємо, щоб друга дужка перевернулась у нуль:

.                                 (4)

Тоді при диференціюванні рівності (3) треба приймати до уваги тільки першу дужку, тобто

.                      (5)

Підставляємо усі отримані результати (2), (3), (5) у рівняння  (1) не виписуючи нульової суми. Це дасть

.

Через те, що функції у₁ та у₂ задовольняють рівнянню , тоді у останньому рівнянні перші дві дужки відпадають й воно перетворюється у рівність

.                          (6)

Отже, для знаходження у₁ та у₂ в нас залишились два співвідношення: (4) та (6). Через те, що у₁ та у₂ та  вважаються відомими, то отримуємо систему двох алгебраїчних рівнянь першого ступеню з двома невідомими: . Розв'язуючи систему, ми знаходимо ці невідомі, а інтегруючи, знаходимо у₁ та у₂.

2. Лінійні неоднорідні рівняння з постійними коефіцієнтами зі спеціальною правою частиною

Приватне рішення  залежить від виду правої частини. Розглянемо два основні випадки.

1.       Права частина рівняння  має вигляд:

,                                  (7)

де  – багаточлен ступеня n

.

У цьому випадку приватне рішення  будемо шукати у вигляді:

,                                  (8)

де  – багаточлен ступеня n з невідомими коефіцієнтами.

Наприклад:

                                    (9)

При цьому коефіцієнт а показової функції , що стоїть в правій частині, не збігається з жодним коренем характеристичного рівняння.

Якщо коефіцієнт а збігається з одним коренем характеристичного рівняння, то підібране рішення  (8) варто ще помножити на х; якщо а збігається з двома коренями характеристичного рівняння, то  помножимо на х².

Усе сказане можна звести в таблицю

Вигляд правої частини	Корені характеристичного рівняння	Вигляд приватного рішення
	1) а ≠ k1 ≠ k2 2) а = k1 ≠ k2 3) а = k1 = k2

Наприклад: знайти рішення неоднорідного рівняння

.

Записуємо відповідне однорідне рівняння

.

Складаємо характеристичне рівняння

.

Знаходимо його корені:

,

 – дійсні, різні.

.

Права частина рівняння , тобто

.

Шукаємо приватне рішення у вигляді:

.

Визначаємо А. Диференціюємо  двічі і підставляємо в дане рівняння:

Остаточно: .

2.       Розглянемо другий випадок виду правої частини:

.

В окремому випадку може бути:

 або

, де M і N – відомі числа.

У кожнім із трьох можливих випадків приватне рішення  шукається у виді:

                             (10)

Наприклад: розв'язати рівняння .

Розв'язуємо відповідне однорідне рівняння .

Складаємо характеристичне рівняння

,      ,       .

Загальне рішення однорідного рівняння запишеться:

.

Приватне рішення  підберемо у вигляді:

.

Диференціюємо двічі і підставляємо в дане рівняння:

.

Через те,  що отримана рівність є тотожність, вона справедлива, якщо коефіцієнти при  і   в лівій і правій частинах будуть рівними, тобто

Одержимо

.

Остаточно:

.