Интегральное исчисление. Неопределенный интервал

Лекция №1

Тема: Интегральное исчисление. Неопределенный интервал.

F(х)→f`'(х); f(х)→F(х); F'(х)=f(х)

ПР. F(х²)=х² F(х)=; F(х)= ; F(х) ; }:F(х)=f(х)

Def. Функция F(х) называется первообразной от данной функции f(х), если ее производная F'(х)совпадает с данной функцией f(х) или, что тоже, ее дифференциал равен f (х)dx:

{F(х)- первообразная от f (х)}⇔{F'(х)=f(х); df=f(x)dx} (1)

Теорема Любая непрерывная на интервале (а,в) функция, производная которой во всех точках этого интервала равна нулю, есть ? на этом интервале.

? ∀х∈(а,в): F`(x)=0⇒∀х<sub>1</sub>,х<sub>2</sub> ∈(а,в): F(х<sub>2</sub>)-F(х<sub>1</sub>)=F`(λ)(х₂-х₁)

                             λ∈(х₁:х₂) //

⇒F(х₂)-F(х₁)=0⇒∀х₁,х₂∈(а,в):F(х₁)=F(х₂)⇒F(х)=consf

Если F(х) есть некоторая первообразная от функции f(х) то любая другая первообразная функции Ф(х) от f(х) будет отличатся от F(х) лишь на константу, т.е.

Следовательно: Выражение { } охватывает совокупность всех превообразных функций f(x). Определение: Множество функций Ф(х)=F(х)+с, где F(х)- есть некоторая первообразная от функции f(х), а с=const называется неопределенным интегралом от функции f(х) и обозначается

     (2)

Действие отыскания неопределенного интеграла от функции f(х) называется интегрированием этой функции.

Пример: f(х)=х²;⇒

Свойства неопределенного интеграла.

1. ∫f(х)dx=F(x)+c⇒[∫f(x)dx]`=[F(x)+c]`=f`(x)=f(x)

/производная от неопределенного интеграла равна ? функции/;

2. ∫f(х)dx=F(x)+c⇒d[∫f(x)dx]`·dx= f(x)dx

/Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению/.

3. Неопределенный интеграл линеен относительно интегрируемых функций:

а)         ;

б)         ∫kf(x)dx=C∫f(x)dx, Где k=consf

4. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции + consf

∫f(x)dx=F(x)+c⇒F`(x)=f(x)⇒dF=F`(x)dx=f(x)dx⇒∫dF=F+c

5. Геометрический смысл. Def График первообразной у=F(х) от функции f(х) называется интегрированной кривой.

у=F(х)⇒∫f(х)○ f(х)=tgλ

Геометрическое интегрирование функции f(х) сводится к построению семейства интегрированных кривых, если известен тангенс угла ? касательной в каждой точке этих кривых.

F(х)=tg2⇒λ=arctgf(x)- поле прерываний.

 

Пример Через точку М(1,2) провести кривую, у которой ? коэффициент касательной в каждой точке с абцисой х равен f(х)=х²

. ; м(1,2)⇒2=

        искомая кривая.

Методы интегрирования.

1. Метод непосредственного интегрирования. Основан на использовании свойства неопределенного интеграла и таблицы:

1. n≠-1; ∫du=u+c;

2.                                3.  ∫e⁴du=e⁴+c

4.∫sinudu=-cosutc                       5. ∫cosudu= sinu +c

6.                                7.

8. .∫shudu=chu+c;                             9. ∫ shudu=shu+c

10.                                11.

12.                    13.

14.        15.

Пример 1 1)                 2)