Приклади розв'язання задач до контрольної роботи № 4 "Невизначені й визначені інтеграли"

Приклади розв'язання задач до контрольної роботи 4

Задача 1.Знайти невизначений інтеграл

Розв'язання.

Застосуємо правило інтегрування частинами:

.

Задача 2.  Обчислити визначений інтеграл

Розв'язання.

Застосуємо правило інтегрування частинами у визначеному інтегралі:

.

.

Задача 3.  Знайти невизначений інтеграл

Розв'язання.

.

Задача 4.  Обчислити визначений інтеграл .

Розв'язання.

.

Задача 5.  Знайти невизначений інтеграл

Розв'язання.

Підінтегральна функція є неправильний раціональний дріб (степінь чисельника дробу не менша за степінь його знаменника). Виділимо цілу частину цього дробу.

.

Маємо

.

В останньому інтегралі підінтегральна функція є правильний дріб. Розкладемо його на елементарні дроби методом невизначених коефіцієнтів.

.

Оскільки в цій рівності початковий і кінцевий дроби дорівнюють один одному і мають однакові знаменники, то і їхні чисельники дорівнюють один одному.

.

Ця рівність виконується для будь-яких значень .

       

Таким чином, маємо

.

.

Задача 6.  Знайти невизначений інтеграл

Розв'язання.

Підінтегральна функція являє собою правильний раціональний дріб (степінь чисельника менший за степінь знаменника). Розкладемо цей дріб на елементарні дроби методом невизначених коефіцієнтів.

.

Звідси маємо

;

;

;

.

Маємо рівність двох многочленів. Два многочлени дорівнюють один одному тоді і тільки тоді, коли дорівнюють один одному їхні коефіцієнти при однакових степенях. Тобто

Розв'язавши цю систему рівнянь, одержимо

Таким чином

.

.

Задача 7.  Знайти невизначений інтеграл .

Розв'язання.

Підінтегральна функція є правильний раціональний дріб. Розкладемо його на елементарні дроби, як і в попередніх задачах, за допомогою методу невизначених коефіцієнтів.

.

Звідси маємо

;

;

.

.

Тому

.

Задача 8.  Обчислити визначений інтеграл .

Розв'язання.

.

Розкладемо підінтегральну функцію (правильний раціональний дріб) на елементарні дроби.

=.

Звідси маємо

;

;

.

Таким чином,

.

.

Задача 9.  Обчислити визначений інтеграл

Розв'язання.

.

Розкладемо підінтегральну функцію на елементарні дроби.

.

Звідси маємо

;

;

;

Тому  .

.

Задача 10.  Обчислити визначений інтеграл

Розв'язання.

.

Задача 11.  Обчислити визначений інтеграл

Розв'язання.

.

Задача 12.  Обчислити визначений інтеграл

Розв'язання.

.

Задача 13.  Знайти невизначений інтеграл

Розв'язання.

.

Маємо інтеграл виду , тобто інтеграл від диференціального біному. У нас . Бачимо, що ;

;  .

У цьому випадку треба зробити заміну .

Тоді маємо:       .

.

Задача 14.  Обчислити площу фігури, обмеженої графіками функцій  та

Розв'язання.

Щоб знайти шукану площу, скористаємося формулою

.

.

Задача 15.  Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, що задані рівняннями

    

Розв'язання.

Знайдемо координати точки . Очевидно, .

Тоді       

.

Таким чином, .

Точці  відповідає значення параметру .

Фігура, площу якої ми знаходимо, симетрична відносно осі . Тому знайдемо площу половини фігури, а потім подвоїмо її. Для знаходження площі скористаємося формулою , враховуючи, що  і  виражаються через параметр .

.

;

;

.

.

.

Задача 16.  Обчислити площу фігури, обмежену лініями, заданими рівняннями в полярних координатах:

Розв'язання.

Скористаємося формулою .

.

Задача 17.  Знайти довжину дуги кривої, заданої рівнянням в прямокутній системі координат:

Розв'язання.

Довжина дуги кривої, заданої в явному вигляді , в прямокутній системі координат обчислюється за формулою .

.

Задача 18.  Обчислити довжину дуги кривої, заданої параметричними рівняннями

Розв'язання.

Довжина дуги кривої, заданої параметричними рівняннями  обчислюється за формулою .

;

;

.

Задача 19.  Обчислити довжину дуги кривої, заданої рівнянням в полярних координатах:

Розв'язання.

Довжина дуги кривої, заданої рівнянням в полярних координатах, обчислюється за формулою .

.

Задача 20.  Обчислити об'єм тіла, обмеженого поверхнями 

Розв'язання.

Якщо  – площа поперечного перерізу тіла площиною, перпендикулярною осі  (при довільному ),  – площини, між якими міститься тіло, то об'єм тіла обчислюється за формулою .

В поперечному перерізі маємо частину площини, обмежену еліпсом

,  або

.

Як відомо, площа, обмежена еліпсом , дорівнює . У нашому випадку

 .

Тому маємо:

.

Задача 21.  Обчислити об'єми тіл, утворених обертанням фігури, обмеженої графіками функцій  навколо осі  і навколо осі .

Розв'язання.

Об'єми тіл, утворених обертанням криволінійної трапеції, обмеженої кривою , віссю  та двома вертикалями  навколо осей  і , виражаються відповідно формулами:

У нашому випадку

.

.