Приклади розв'язання задач до контрольної роботи № 6 "Функціональні ряди"

Приклади розв'язання задач до контрольної роботи № 6

Задача 1. Знайти область збіжності функціонального ряду .

Розв'язання.Очевидно, маємо ряд з додатними членами, причому .

Застосуємо ознаку Даламбера, враховуючи, що .

.

Ряд збігається, якщо . Ця нерівність, очевидно, виконується для будь – яких .

Таким чином, область збіжності даного ряду є інтервал .

Задача 2. Знайти область збіжності функціонального ряду .

Розв'язання.Очевидно, , .

Розглянемо ряд , складений з абсолютних величин членів даного ряду. Застосуємо до цього ряду радикальну ознаку Коші

.

Ряд збігається, якщо . Звідси , .

Ряд  абсолютно збігається при , .

Перевіримо виконання необхідної умови збіжності даного ряду, якщо , тобто при , або .

В першому випадку маємо знакододатний ряд, в другому – знакопочередний. В обох випадках , бо

.

Тобто ряд  при  і  розбігається.

Дослідимо збіжність ряду при .

При  маємо ряд . Це узагальнений гармонічний ряд з показником степені більшим за 1, тому він збігається.

При  маємо ряд . Цей ряд абсолютно збігається, бо збігається ряд .

Таким чином ряд  збігається, причому абсолютно, при , .

Задача 3. Знайти область збіжності функціонального ряду .

Розв'язання.Очевидно,   .

1. При   і тому маємо ряд з додатними членами. Застосуємо радикальну ознаку Коші

.

            Ряд збігається, якщо     , тобто ряд збігається при .

            При  маємо ряд , що розбігається, оскільки .

2. При   і тому маємо знакопочередний ряд.

а) Нехай , тоді    і . Це означає, що ряд розбігається, бо не виконується необхідна ознака збіжності.

б) Нехай , тоді    і . Очевидно також . За ознакою Лейбніца ряд збігається. При  маємо ряд , що розбігається, оскільки .

Таким чином ряд  збігається при .

Задача 4. Знайти область збіжності функціонального ряду .

Розв'язання.Маємо степеневий ряд. За теоремою Абеля інтервал збіжності цього ряду співпадає з інтервалом збіжності ряду .

Застосуємо ознаку Даламбера

.

            Даний ряд збігається, якщо

;

;

,

тобто на інтервалі: .

            При  маємо ряд . Порівняємо його зі збіжним рядом .

.

            Так як значенням границі є , то ряди, в сенсі збіжності, ведуть себе однаково. Ряд  збігається, тому і ряд  також збігається.

            При  маємо ряд , що збігається абсолютно, бо збігається ряд .

            Таким чином, областю збіжності ряду  є відрізок .

Задача 5. Довести, виходячи з означення, рівномірну збіжність функціонального ряду  на відрізку . При яких  абсолютна величина залишкового члена ряду не перевершує  ?

Розв'язання.Маємо знакопочередний (починаючи з другого члена) ряд. Його залишок не перевершує за абсолютною величиною першого із своїх членів, тобто

, і, очевидно .

            Звідси витікає, що ряд рівномірно збігається на відрізку .

            З’ясуємо, при яких  абсолютна величина залишку ряду не перевершує .

  

                             

                                 .

            Оскільки , то при  .

Задача 6. Для даного функціонального ряду  побудувати мажоруючий ряд і довести рівномірну збіжність на відрізку .

Розв'язання. Очевидно,  виконується нерівність

.

            Ряд  збігається як узагальнений гармонічний ряд з показником степені більше 1. за ознакою Вейрштраса ряд  рівномірно збігається на відрізку .

Задача 7. Знайти суму ряду .

Розв'язання.Знайдемо інтервал збіжності ряду, використовуючи теорему Абеля, та радикальну ознаку Коші.

.

            Ряд збігається при , тобто  - інтервал збіжності ряду. В цьому інтервалі ряд збігається абсолютно і рівномірно.

            Позначимо через  суму ряду, тобто

.

            Так як ряд збігається рівномірно на інтервалі , то його можна почленно диференціювати на ньому (за теоремою про почленне диференціювання і інтегрування степеневого ряду в середині інтервалу збіжності).

.

            Скориставшись тим, що

,

маємо

.

            Тоді

.                                (*)

            Оскільки , то із (*) знаходимо

.

            Таким чином

, .

            При  маємо ряд  ~ .

            Ряд  збігається, значить і ряд  також збігається.

При  маємо ряд , який збігається абсолютно, оскільки збігається ряд .

Так як ряд  збігається на відрізку , то його сума є неперервною функцією на цьому відрізку.

Тому

;

.

            Таким чином

,

або

.

Задача 8. Знайти суму ряду .

Розв'язання.Знайдемо область збіжності цього степеневого ряду. Скористаємося теорему Абеля і радикальною ознакою Коші.

.

            Ряд збігається при , тобто збігається абсолютно і рівномірно на інтервалі .

            При  маємо ряд , що, очевидно, розбігається, оскільки для нього не виконується необхідна умова збіжності:

.

            При  маємо ряд , що як і попередній ряд розбігається з тієї ж причини.

            Таким чином ряд  збігається абсолютно і рівномірно на інтервалі .

.

            Нехай , , , .

            1) ;

            2) .

            Позначимо . Проінтегруємо почленно цей ряд в інтервалі .

,

.

            Тоді .

            3) .

            Позначимо . Проінтегруємо почленно цей ряд в інтервалі

.

Тоді

,

.

.

Задача 9. Розвинути функцію  в ряд Тейлора по степеням .

Розв'язання. Запишемо функцію  у вигляді суми найпростіших дробів

.

            Звідси .

При  , при  , маємо систему

  .

            Тобто .

            Оскільки  і , то

.

            Таким чином

.

            Це є ряд із додатними членами. Знайдемо його область збіжності. Скористаємося ознакою Даламбера

.

            Ряд збігається при , тобто на інтервалі . Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу.

            При  маємо ряд .

            Очевидно, , тому цей ряд розбігається, оскільки не виконується необхідна умова збіжності.

            При  маємо знакопочередний ряд , для якого, очевидно, також не виконується необхідна умова збіжності, тому він розбігається.

            Таким чином

, .

Задача 10. Обчислити інтеграл  з точністю до .

Розв'язання. Запишемо відоме розвинення

, .

            Причому цей ряд збігається рівномірно на .

            Тоді

, .

            Про інтегруємо цю рівність на відрізку .

{оскільки ряд під інтегралом збігається рівномірно, то можливе почленне інтегрування}

            В знакопочередному ряді при заміні його суми частиною сумою похибка за абсолютною величиною не перевищує першого з відкинутих членів ряду. Оскільки , то з точністю до

.