Индивидуальные семестровые задачи самостоятельной работы. Индивидуальное задание № 1: «Методы решения дифференциальных уравнений первого порядка»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ВОСТОЧНОУКРАИНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ВЛАДИМИРА ДАЛЯ

Кафедра «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»

Специальность 080202 - «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКАЯ ДОКУМЕНТАЦИЯ

по дисциплине «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (общий курс)»

Документ №8

«Индивидуальные семестровые задачи

самостоятельной работы»

Луганск-2004

Индивидуальное задание № 1: «Методы решения дифференциальных уравнений первого порядка»

Вариант 1

I.

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

6) 

7) 

8) 

9) 

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

II.

1) Материальная точка массы движется по прямолинейному пути к центру, притягивающему ее с силой , где - расстояние точки от центра. Движение начинается с состояния покоя при . Найти время, по истечении которого точка достигнет центра.

2) Зависимость между углом наклона  скорости потока газа к оси  и величиной этой скорости  можно записать следующим дифференциальным уравнением:

, где  – постоянные. Найти .

III.

1) 

2) 

Вариант 2

I.

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

6) 

7) 

8) 

9) 

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

II.

1) Скорость распада радия пропорциональна наличному его количеству. В течение года из каждого грамма радия распадается 0,44 мг. Через сколько лет распадется половина имеющегося количества радия?

2) Определить полный магнитный поток катушки, равномерно намотанной на сердечник прямоугольного сечения, внутренний радиус которого  см; наружный –  см; высота см;  А; число витков  (сердечник из магнитодиэлектрика). Величина потока удовлетворяет уравнению:

.

III.

1) 

2) 

Вариант 3

I.

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

6) 

7) 

8) 

9) 

10) 

11) 

12) 

13) 

14) 

15) 

16) 

17) 

18) 

19) 

20) 

21) 

22) 

23) 

24) 

25) 

26) 

27) 

28) 

29) 

II.

1) Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна их количеству в рассматриваемый момент времени . Количество бактерий утроилось за 5ч. Найти зависимость количества бактерий от времени.

2) Количество вещества, входящего в химическую реакцию через  секунд после ее начала, равно . Найти , если скорость реакции , где – постоянная и .

III.

1) 

2) 

Вариант 4

I.

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

6) 

7) 

8) 

9) 

10) 

11) 

12) 

13) 

14) 

15) 

16) 

17) 

18) 

19) 

20) 

21) 

22) 

23) 

24) 

25) 

26) 

27) 

28) 

29) 

II.

1) Лодку разгоняют в спокойной воде до скорости , после чего выключают двигатель. Сопротивление воды пропорционально скорости. Описать дальнейшее движение лодки. Найти время движения до остановки и пройденный путь.

2) Одно из основных уравнений термодинамики (уравнение изохор), выражающее зависимость постоянной равновесия  от теплового эффекта  и температуры  реакции, представляется в виде: , где  – число калорий, выделяющихся в процессе реакции;  – абсолютная температура. Найти уравнение изохоры.

III.

1) 

2) 

Вариант 5

I.

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

6) 

7) 

8) 

9) 

10)  

11)  

12)  

13)

14)  

15)  

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

II.

1) Ракета перед стартом имеет массу кг. На какой высоте окажется ракета через 15с после начала работы ее двигателей? Считать расход топлива  кг/с, скорость истечения газов относительно ракеты  м/с постоянными; поле тяготения Земли однородно.

2) Для средней области интенсивности ощущений имеет место психофизический закон соотношения между ощущением Е и раздражением . Определить , если  – постоянная.

III.

1) 

2) 

Вариант 6

I.

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

6) 

7) 

8) 

9) 

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

II.

1) Температура вынутого из печи каравая хлеба в течение 20 мин падает от  до . Температура воздуха равна . Через сколько времени от начала момента охлаждения температура хлеба понизилась до ?

2) Мальчик бежал на коньках по льду со скоростью 15 км/ч. Через  с он остановился, пробежав м. Его скорость в момент времени  выражалась формулой , где  – начальная скорость в м/с, а  – коэффициент трения между коньками и поверхностью льда. Определить .